2025年合肥168中学自主招生考试数学真题-梅涅劳斯定理塞瓦定理真题(配完整解 .pdfVIP

士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?——《论语》

合肥168中学自主招生考试数学真题-梅涅劳斯定理塞瓦定理真题（配完整解析）

考点卡片

1．梅涅劳斯定理与赛瓦定理

梅涅劳斯定理与赛瓦定理．

梅涅劳斯定理：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线

段之积．当直线交三角形ABC三边所在直线BC、AB、AC于D、E、F点时，则有AE×BD

×CF＝EB×CD×AF

赛瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、

F，则BD×CE×AF＝DC×EA×FB．

一．选择题（共1小题）

1．如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相

交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（）

A．B．C．D．

二．填空题（共1小题）

2．如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交

AC于E，则四边形BCEF的面积为．

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以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》

三．解答题（共18小题）

3．如图，在△ABC中，AB＞AC，内切圆⊙I与边BC切于点D，AD与⊙I的另一个交点为

E，⊙I的切线EP与BC的延长线交于点P，CF∥PE且与AD交于点F，直线BF与⊙I

交于点M、N，M在线段BF上，线段PM与⊙I交于另一点Q．证明：∠ENP＝∠ENQ．

4．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足，直线

ED交外接圆于点M．求证：∠AMH＝90°．

5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．在CD上取一点E，BE与AC相交

于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC＝∠EAC．

6．梅涅劳斯定理是古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的．它指出，如果一条直线与△ABC的

三条边AB、BC、CA（或其延长线）分别交于F、D、E，则有1．解答以

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百学须先立志。——朱熹

下两个问题：

（1）如图1所示，AB＝AC＝6，D为BC中点，点E在AC上，CE＝2，点F在AB的延

长线上，求FB的长．

（2）如图2所示，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是BC中点，E在AB上，

AE＝2EB，连接AD、CE，求证：AD⊥CE．

7．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点E，AD、BC的延长线交于点H，过点E作

FG∥AB交AD于点F，交BC于点G，求证：AG、BF、EH三线共点．

8．如图，在△ABC中，AQ平分∠BAC，QD⊥BC交BC于点D，在BC上取一点E，使得

∠BAD＝∠CAE，在AE上存在一点K，使得∠KBC＝2∠BQD，求证：QK平分∠BKC．

9．如图，已知△ABC