广西钦州市第三中学高三数学解析几何题简化运算的几个策略.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2017届高三数学解析几何题简化运算的几个策略

1、合理转化条件简化计算

例1、如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作

直线的垂线，垂足为点，且.

（I）求动点的轨迹的方程；

(II）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，,求的值；

△①掌握常见的转换：如垂直关系、平行关系、线段相等、比例关系共线问题、面积问题；②能选择合理的转换方式：如设直线方程、点的坐标等．

对条件的应用直译是一种常用的方法，但有时候将条件转化后再应用会使过程更简单,应学会合理选择．

2、利用“设而不求”的思想简化计算

例1、已知点，和抛物线，为坐标原点，过点的动直线交抛物线于。直线交抛物线于另一点，如图．

(1）证明:为定值;（2）证明直线PQ恒过一个定点．

△解析几何题运算量大，字母多，“设而不求”是处理这类问题的常用方法之一

3、利用“整体思想”简化运算

例3、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线。

（I)求椭圆的离心率；(II)设M为椭圆上任意一点，且，证明：为定值。

△“整体代换”也是处理解析几何中复杂运算的常用方法之一

4、挖掘隐含条件简化计算

例4、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q)．

(I)求椭圆C的方程；

(II）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时,求直线的斜率的取值范围.

作业：1、已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1．

(I）求曲线C的方程；

（II)是否存在正数m，对于过点M(m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。

2、例4、已知椭圆的左焦点为，离心率，M、N是椭圆上的动点。

（I）求椭圆标准方程；

（II)设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为，问:是否存在定点，使得为定值?若存在，求出的坐标,若不存在,说明理由。

(III)若在第一象限，且点关于原点对称,点在轴上的射影为，连接并延长交椭圆于点,证明：。

参考答案

1、(I）设点,则，由得：

,化简得

(II)，；，

，

例1、

解：(1）设点，三点共线,

，即，即，，

(2)设点，三点共线，，即，即

，，即

，即,，即．（*）

直线的方程是

即，即

由（*）式,，代入上式，得

由此可知直线过定点.

例3、解:（I)设椭圆方程为．则直线AB的方程为：，

代入，化简得：

令，,则。

由，,与共线,

得，又，，

，.即，

所以。，故离心率

(II)证明：（1）知，所以椭圆可化为.

设,由已知得，

在椭圆上，.

即．①

由(1)知,，．又,,

代入①得

故为定值，定值为1。

例4、解：（I）依题意,设椭圆C的方程为，焦距为，由条件知，

，所以故椭圆C的方程为。

（II)椭圆C的左准线方程为,所以点P的坐标(-4，0)，

显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。

如图，设点的坐标分别为，线段的中点为，

由，得．……①

由解得．……②因为是方程①的两根，所以,于是

，因为，

所以点不可能在轴的右边，又直线，方程分别为，

所以点在正方形内(包括边界)的充要条件为

即亦即

解得，此时②也成立．故直线斜率的取值范围是

作业：1、解：（I)设是曲线上任意一点，

那么点满足：．化简得

（II)设过点的直线与曲线的交点为.

设的方程为，由得，

．于是①又，

②

又，于是不等式②等价于

③

由①式，不等式③等价于

对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于

，即

由此可知，存在正数,对于过点,且与曲线有两个交点的任一直线,

都有，且的取值范围是

2、例4、解：(I)由题设可知:

故．故椭圆的标准方程为:。

(Ⅱ）设，

由可得:………①

由直线OM与ON的斜率之积为

可得：，即………②

由①②可得：

M、N是椭圆上，故故，即。

由椭圆定义知存在定点，使点P到两定点距离和为定值；

(III）设

由题设可知，，，，

由题设可知斜率存在且满足………③

……④将③代入④可得：

……⑤

点在椭圆，故

所以