直线与椭圆的位置关系(二).ppt

（三）.中点弦问题总结:弦中点问题的两种处理方法：联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直线方程连里解方程组，利用中点公式求得弦的中点的横坐标，最后解关于的方程组即可．练习:中心在原点一个焦点为的椭圆的截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程．解①、②得：解：设所求椭圆的方程为由得①把直线方程代入椭圆方程，整理得设弦的两个端点为，，则由根与系数的关系得又中点的横坐标为．由此得例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得x2+4[k(x-2)+1]2=16即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0∵直线与椭圆有两个交点,故△=16(k2+4k+3)0①又②两式联立解得k=，∴直线方程为x+2y-4=0.评：※.本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出△=16(k2+4k+3)0，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的方法，大家务必掌握.但是，这种解法显得较繁（特别是方程组16()0显得较繁）解二：设弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2)则x1+x2=4,y1+y2=2∵在P(x1,y1),Q(x2,y2)椭圆上,故有x12+4y12=16x22+4y22=16两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0∵点M（2，1）是PQ的中点,故x1≠x2，两边同除(x1-x2)得即4+8k=0∴k=∴弦所在的直线方程为y-1=(x-2)即x+2y-4=0.评：※.本解法设了两个端点的坐标，而我们并没有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了从而揭示了弦所在的直线斜率k与弦中点坐标(x0,y0)之间在椭圆标准方程的前提下的关系：mx0+ny0k=0.显得很简便.※.但在解题过程中应注意考虑x1≠x2的条件！如果有这种可能性，可采用讨论的方法，先给以解决.如果不可能有这种情况，则应先说明例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-424xyM(2,1)0练习：在椭圆中，求通过点M（1，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.PARTONE分析：本例是一道综合性比较强的问题，求解本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜率，另外还要用到弦长公式：综合：已知椭圆与直线相交于两点，是的中点．若，斜率为（Ｏ为原点），求椭圆方程．THANKS感谢观看解：由方程组消去整理得：即：解①②得所求的椭圆方程为（四）.椭圆中的最值问题1.过椭圆的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点，求弦长|AB|yxo思考：最大的距离是多少？oxy3.如果点Ａ的坐标为（１，１），F1是椭圆 的左焦点，点Ｐ是椭圆上的动点，求:（1）|PA|+|PF1|的最小值；（2）|PA|+|PF1|的最大值和最小值．（2）设右焦点为,欲求的最大值．怎样使它与联系在一起呢？数形结合简便直观5.设AB为过椭圆的中心的弦,F1是左焦点,求的面积的最大值.OABF1F23、弦