2025年三角形中的五星 .pdfVIP

吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?——《论语》

三角形的五心

内心：内角平分线的交点。

外心：中垂线的交点。

重心：中线的交点。

垂心：高的交点。

旁心：外角平分线的交点。

一、三角形重心

三角形的三条边的中线交于一点,该点叫做三角形的重心。

重心的性质：

1重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的与三条边的

长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为

xxxyyy

123123

(，)。

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二、三角形外心

三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：

1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

BOC2AABOC3602A

2、若O是△ABC的外心，则（为锐角或直角）或

A

（为钝角）。

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三

角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等

三、三角形垂心

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：

1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

3、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、三角形内心

三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质：

1、三角形的三条内角平分线交于一点,该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则

有A0:0NAB:BNAC:CN(ABAC):BC

五、三角形旁心

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形

的旁心。

旁心的性质：

1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

不飞则已，一飞冲天；不鸣则已，一鸣惊人。——《韩非子》

3、旁心到三边的距离相等。

4、一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，即几何中心，这时重心，内心，外心，垂

心，中心，五心合一。