2025年三角形中心 .pdfVIP

子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”——《论语》

三角形中心

三角形只有五种心

重心:三中线的交点;

垂心:三高的交点;

内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;

外心:三中垂线的交点;

旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆

心的简称.

当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.

重心性质

重心是三角形三边中线的交点

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐

在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均

三角形内心、外心、重心、垂心、旁心的性质。

我们都知道,任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外,还有以下重要性质:

一是欧拉线,即经过三角形的垂心,质心和外心三心的直线,且质心在外心和垂心的三

等分点上.但欧拉线未揭示出三角形内心,旁心的性质.

二是九点圆,即经过三角形三边中点,三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆.

九点圆与三角形的三个旁切圆相切,圆心也在欧拉线上,且圆心到三角形垂心,外心距离相等.

九点圆又称费尔巴哈圆,欧拉圆.

经过研究,我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质:

一,是任意三角形有三条九点线,九点线是指从三角形的一个顶点,引两个底角的内,外

角平分线垂线得到的四个垂足,该顶点两邻边中点,经过该顶点的角平分线中点,高线中点,中

线中点,此九点共线.九点线经过三角形的一条中位线,因而平行于三角形的一边.

二,是第二个九点圆,第二个九点圆是指三角形的三个顶点,三角形三个旁心构成的三角

形(以下简称旁心三角形)的三边中点,三角形内心与三个旁心联线中点,此九点共圆.又因

为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合,因而第二个九点圆又可称为十二点圆.

第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质,且与三角形的外接圆重合,圆心在三角形

的外心上,第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1.

三,是一条九心线,三角形的内心,外心,由三角形的三边中点构成的三角形(以下简称

子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”——《论语》

中点三角形)垂心,旁心三角形的垂心,质心,外心,旁心三角形的中点三角形的垂心,质心,外

心,此九心共线.九心线与欧拉线相交于三角形的外心.

四,是一些线段和的不等关系:

三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或等于1/2,当且仅当三角形是正三角

形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形.

三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2,

当且仅当三角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形.

三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三

角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形.

三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2,当且仅当三

角形是正三角形时等号成立,此时旁心三角形也是正三角形.

三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形(以下简称分角三角形)的周

长与原三角形周长之比小于或等于1/2,当且仅当原三角形是正三角形时等号成立,此时分

角三角形也是正三角形.

分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之