福建师范大学2021年8月课程考试《常微分方程》作业考核试题答案.docVIP

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《常微分方程》期末考试A卷

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填空题（每个空格4分，共40分）

是二阶微分方程，是线性方程（填“线性”或“非线性”）。

给定微分方程，它的通解是，通过点（2，3）的特解是。

微分方程为恰当微分方程的充要条件是

。

4、方程的通解为，满足

初始条件的特解为。

5、微分方程的通解为。

6、微分方程的通解为，

该方程可化为一阶线性微分方程组。

二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。

1、；

2、；

3、；

4、.

三、（8分）考虑方程假设及在xOy平面上连续，试证明：对于任意及，方程满足的解都在上存在。

证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个x0y平面上满足解的延拓定理及解的存在与唯一性定理的。

易于看到，为方程在上的解。

由延拓定理可知，满足，任意及的解上的点应当无限远离原点，

但是，由解的唯一性，又不能穿过直线

所以，只有可能向两侧延拓，而无限远离原点，从而这解应在上存在。

四、（10分）设，求解方程组满足初始条件的解。

五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。

证明：见书。