第04讲 复数的乘、除运算 -2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）.docx

第4讲复数的乘、除运算

知识点1复数的乘法及其运算律

(1)复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积

(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(2)复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

z1z2＝z2z1

结合律

(z1z2)z3＝z1(z2z3)

乘法对加法的分配律

z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

注：对复数乘法的三点说明

(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．

(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．

(3)常用结论

①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；

②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

③(1±i)2＝±2i.

知识点2共轭复数

1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数

2、表示：z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi

知识点3复数的除法

1、复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，

则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.

注：对复数除法的两点说明

(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．

特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．

2、记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②eq\f(1－i,1＋i)＝－i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1,i)＝－i.

考点一复数代数表示式的乘法运算

解题方略：

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

(1)首先按多项式的乘法展开；

(2)再将i2换成－1；

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R);

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i.

【例1】i(2＋3i)＝()

A．3－2iB．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2i

【解析】i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.故选D.

变式1：若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1z2等于()

A．4＋2i B．2＋i

C．2＋2i D．3＋i

【解析】z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.故选A

变式2：计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝()

A．2－13i B．13＋2i

C．13－13i D．－13－2i

【解析】(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D.

变式3：下列各式的运算结果为纯虚数的是()

A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)

C．(1＋i)2 D．i(1＋i)

【解析】A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；

B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；

C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；

D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.

变式4：设，则“”是“复数为纯虚数”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】，复数为纯虚数，则，解得：，所以则“”是“复数为纯虚数”的充要条件

故选：C

【例2】(1＋i)20－(1－i)20的值是()

A．－1024B．1024C．0 D．512

【解析】(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.故选C

变式1：i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．

【解析】是周期为4的运算，，，，…，

代入原式得.

故答案为：

变式2：若是虚数单位，则__________.

【解析】因为是虚数单位，

所以，，，，

所以，

所以

故答案为：0

变式3：已知，则复数的虚部为_________．

【解析】，的虚部为.

故答案为：.

【例3】设复数z满足z2＝3＋4i(i