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第07讲比较大小

【知识点总结】

对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）设，，，则（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

，，，

根据在上是增函数，所以，即.

故选：D.

例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

∵对任意，，均有成立，

∴此时函数为减函数，

∵是偶函数，

∴当时，为增函数，

，

，，

∵，∴，

∵，

∴，

∴，

即，

故选：D.

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a＝log0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c

【答案】A

【详解】

解：∵log0.53＜log0.51＝0，∴a＜0，

∵20.3＞20＝1，∴b＞1，

∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，

∴a＜c＜b，

故选：A．

例4．（2022·全国·高三专题练习）若实数满足，则（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由，可得，所以，所以A不正确；

由，，

因为，可得，所以，所以B正确；

由函数为上的递减函数，因为，可得，所以C错误；

例如：当时，，此时，所以D错误.

故选：B.

例5．（2022·全国·高三专题练习）若，，，，则，，大小关系正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

；

，；

．

故选：．

例6．（2022·全国·高三专题练习（文））设，，，则，，的大小关系是（）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

，，，

所以，

故选：C.

例7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，其中，，，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，则，同理，，

令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，

由图的对称性可知，.

故选：C

例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，则，，的大小排序为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

方法一：设.

则，，，

又，所以，可得.

方法二：由.

得，即

，

可得.

故选：D

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，试比较，，的大小为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据对数函数和指数函数的单调性将??与0?1相比较，即可得到结论.

【详解】

解：∵，

，

，

∴，

故选：B.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据指数函数的单调性判断的大小，再由对数函数的单调性和对数的运算可得出、的大小.

【详解】

因为，又因为指数函数的值大于0，所以；

因为在上单调递增，，所以，

因为在上单调递增，，所以，

所以.

故选：B.

3．（2022·全国·高三专题练习）设，则a，b，c的大小关系为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.

【详解】

，，

，，

，，

.

故选：D.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知，下列不等式成立的是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据指数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，结合题意，可判断A、B、D的正误；根据对数函数的运算性质，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】

对于：构造函数，由于，则函数在上为减函数，

又因为，则有，所以错误；

对于：构造函数，由于，则函数在上为增函数，

又因为，则，所以B错误；

对于C：，

因为，所以，

所以，所以，所以正确;

对于D：，由于，

所以，所以，所以错误；

故选：C

5．（2022·全国·高三专题练习（理））若实数，，互不相等，且满足，则（）

A． B． C．， D．，

【答案】D

【分析】

令，然后分别求解出，利用指数、对数函数的图象与性质直接判断出大小关系.

【详解】

解：设，

则，，，

根据指数、对数函数图象易得：，，

即，，

故选：D.

6．（2022·全国·高三专题练习（理））若，b＝log25，c＝ln3，则（）

A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞