2025年初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题25 平面几何的最值问题 .pdfVIP

穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》

专题25平面几何的最值问题

阅读与思考

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、

图形面积）等的最大值或最小值．

求几何最值问题的基本方法有：

1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形

下的推证．

2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．

3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．

例题与求解

【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M

作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．（四川省竞赛试题）

解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值．

【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN

的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）

解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM=B′M，从而BM+MN=B′M+MN．要

使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的

值最小．

□ab

【例3】如图，已知ABCD，AB=a，BC=b()，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延

长线于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市竞赛试题）

君子忧道不忧贫。——孔丘

22

ab

ab2ab

xx

解题思路：设AP=，把AP，BQ分别用的代数式表示，运用不等式以或a+b≥2

（当且仅当a=b时取等号）来求最小值．

【例4】阅读下列材料：

问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发

沿圆柱表面爬行到C点的最短路线．

小明设计了两条路线：

路线1：侧面展开图中的线段AC．如图2所示．

，则l=AC=AB+BC=25+(5π)=25+25π

设路线l的长度为l222222．

11

路线2：高线AB十底面直径BC．如图1所示．

，则l=(BC+AB)=(5+10)=225．

设路线l的长度为l222

22

–l=25+25π＞l．

2222222

∵l－225=25π－200=25(π－8)，∴l＞l，∴l

121212

所以，应选择路线2．

(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继

续按前面的路线进行计算．请你帮小明完