2025年三角形的定义 .pdfVIP

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。——《中庸》

三角形的定义

在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为180°（一定是180°,

这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，

各种多边形都是由三角形组成的。

三角形的内角和

在欧几里德的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角

和为180度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一

个外角大于其他两内角的任一个角。（注：在非欧几何中，三角形的内角

和有可能大于180度也有可能小于180，此时的三角形也从平面也变为了球

面或者伪球面）

证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走

进三角形》

如何证明三角形的内角和等于180°

方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180°

方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°

例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°

证明：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E

∵AB∥CE（已知）

∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行，

内错角相等)

∵∠BCD=180°

∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质）

∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）

三角形分类

(1)按角度分

a.锐角三角形：三个角都小于90度。（三个角都为锐角，等边三角

形也是锐角三角形。）

b.直角三角形（简称Rt△）：

①直角三角形两个锐角互余；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边

等于斜边的一半.；

④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直

角边所对的锐角等于30°（和③相反）；

操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器。——刘勰

c.钝角三角形：有一个角大于90度。

d.证明全等时可用HL方法

*（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）

（2）按边分

不等边三角形；等腰三角形（含等边三角形）。

解直角三角形（斜三角形特殊情况）：

等边三角形勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定

理”）

a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，

5。他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等.

其中，互素的勾股数组成为基本勾股数组，例如：3,4,5；5,12,13；

8,15,17等等

解斜三角形：

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有

（1）正弦定理

a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R为三角形外接圆半径)

（2）余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bc*CosA

b^2=a^2+c^2-2ac*CosB