高三提优课教案详 专题1 集合与逻辑(教师版).docx

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专题一集合与逻辑

一、知识拓展

1.容斥原理

在计数时，为使得重叠部分不被重复计算，人们研究出了一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考查重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算既无遗漏又无重复，这种计数方法我们称之为容斥原理。

容斥原理可以通过高中课本中集合中的文氏图来进行理解（如图），我们要求集合中的元素个数.用表示集合元素个数，则；再比如要求集合中的元素个数则，.

除此之外容斥原理在组合计算概率论和初等数论等学科中都有着非常广泛的应用。下面我们来介绍容斥原理的基本公式.

容斥原理：用表示集合的元素个数，则

（1）

（2）

例1设集合，若的非空子集满足，就称集合为集合的“隔离集合对”，求集合的“隔离集合对”的个数？

解将集合中的元素这个元素分配到如图所示的区域中去，对于每个数字都有三种选法，故总共有种选法.

当时，每个数字都有种选法，故此时有种选法；

当时，同样每个数字都有种选法，故此时也有种选法；

而当时，所有的数字都只有一种选法.

从而由容斥原理知：符合要求的选法有：种，即集合有对“隔离集合对”.

补充：设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值__329____．

（2024年上海第10题）

【解析】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，

①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；

②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，

根据分步计数原理这样的偶数共有；

然后再加上一个三位正奇数，得集合中元素个数的最大值为个．

例2设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数.

命题①：对任意有限集A，B，“”是“”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集A,B,C，d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).

A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立

（2015年浙江第6题）

【详解】若A≠B，则，则，故成立，

若，则，所以A≠B，

所以“A≠B”是“”的充要条件.

通过如下文氏图亦可知d(A,C)表示的区域不大于d(A,B)+d(B+C)的区域，故命题②也正确，故选A.

2.抽屉原理

我们知道，把三个球放入两个抽屉中，则比有一个抽屉里至少有两个球，这就是著名的抽屉原理.

抽屉原理常见的形式有：

（1）把个物体以任意的方式全部放入个抽屉中，一定有一个抽屉中至少有两个物体.

（2）把个物体以任意的方式全部放入个抽屉中，一定有一个抽屉中至少有个物体.

（3）把个物体以任意的方式全部放入个抽屉中，则下列情况之一一定发生：或者要么在一个抽屉中至少有个物体，或者在第二个抽屉中至少有个物体，或者在第个抽屉中至少有个物体.

（4）当把个物体以任意方式全部放入个抽屉中，有两种情况：

=1\*GB3①当(表示整除)，一定有一个抽屉中至少放入个物体；

=2\*GB3②当不能整除时，一定有一个抽屉中至少放入了个物体.

例3．设S为集合的一个子集，且S中任意两个元素之和不能被7整除，则S中元素最多有多少

【详解】将按照模7分成7类：

，，，，，，

．

下面证明为满足要求的最大集合．

首先，对，，有3种可能：

（1），则，有不能被7整除．

（2），，则，有不能被7整除．

（3），，则，有不能被7整除．

综上知，中任两个元素之和不能被7整除．

其次证明，若给添加一个元素，则必存在中的一个元素与之和，能被7整除．

添加的有4种可能：

（1），则与中的元素之和能被7整除．

（2），则与中的元素之和能被7整除．

（3），则与中的元素之和能被7整除．

（4），则与7之和能被7整除．

综上知，中的元素不能再增添.

所以，中元素的最大值为．

3.子集的划分

设为一个阶集合，为的元素，则集合可以表示为。集合的所有子集，包括，共有个，设为，记，则为由的所有子集作为元素的集合。这种由的某些子集作为元素的集合称为集合的子集类，由的所有子集构成子集类称为C类，就是的一个C类.

子集的划分的性质：阶集合的每个元素在其C类中出现次.

例4设，为的C类，对中的每个的子集，集合中各数有一个和，记为，求.

解：由上述定理可知，的每个元素在其C类中出现次，故

。

例5对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替地减、加后继的数所得的结果.例如，集合的“交替和”是10-7+4-2+1=6，的“交替和”