高三提优课教案详 专题9 函数与方程思想方法（教师版）.docx

专题九函数与方程思想方法

例1关于的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根．其中所有真命题的序号是___________．

解令，作出函数和的图像，根据两个函数图像的交点个数，易知①②③④均为真命题.

例2如图，△中，于，，，，则△的面积为______.

方法一设，则，，又，故，即，

解得（舍）.

所以，△的面积.

方法二设，则，，又，由余弦定理知，

即,

解得（舍），所以，△的面积.

小结对于同一个问题，利用不同等量关系构建的方程（组）模型的计算的难易程度都有所不同，有的模型计算量会非常大，故构建合适的方程（组）是问题解决的关键.

例3函数的值域是_________.

【解法一】由得,即,

整理得

将上述方程看成关于的一元二次方程,.设,得,

则关于的一元二次方程在上有实根,令.

即函数的值域是

例4在中，.若平面外的点和线段上的点，满足，则四面体的体积的最大值是.

解法一：由，可得.

要求四面体的体积，关键是寻找底面三角形的面积和点到平面的距离，

易知.设，则，

，其中，且.

当且仅当，即时取等号，故四面体的体积的最大值是.

解法二：设，.

（为三棱锥的高）.

当平面平面时，使四面体的体积最大.

作，重足为，平面，，

此时，.

当且仅当时等号成立，此时.

当，即时，最大值为.

解法三：∵（为三棱锥的高）.

在中，，则.

设，则，，

在中，由余弦定理，有，

代值整理得.在中，由余弦定理得

，代值整理得，

，

要使得最大，平面需垂直于平面.

过作，重足为，则为四面体的高.

.

故，

令

在上单调递减.

所以当，即时，四面体的体积最大，为.

例5已知，数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，求的取值范围.

解由已知得，.因为，同理；故，（即奇数项为负，偶数项为正）

又因为，

所以这个数列是奇数项恒负且递增，偶数项恒正且递减；故本题等价于：存在正整数，使得，故只要，即.

所以，所求的取值范围为.

例6已知，，若关于的不等式对于任意都成立，则___________.

解设，；

根据函数图像，原问题可转化为函数

和在上有相同的零点.

即，，所以.

例7已知，若关于的方程有解，则的取值范围为_____.

分析从方程角度看，有解等价于方程和不等式组有解，即可视为关于的一元二次方程在区间上有解.如果用求根公式将方程的两根用表示出来，则本题转化为求不等式组有解，计算量非常大.我们不妨从函数角度来看这个问题.对于方程在给定区间上有解问题，从“形”的角度来看等价于函数和函数图像有交点.本题可以转化为求两条曲线有交点时的取值范围.

解（方法一）由题意有解，即函数与函数图像有交点，根据两个函数的大致图像可知，所求的取值范围为.

（方法二）由题意有解，即有解，即函数与函数图像有交点.

根据函数的大致图像，可知的取值范围为.

小结对于方程在给定区间上有解问题，常有以下几种解题思路：

（1）利用方程的解和函数零点之间的关系，研究函数的单调性，结合零点存在定理求解；

（2）通过参变分离，将方程转化为所求参数关于变量的函数，定义域为，求函数的值域（或最值）.

学生练习：

1．已知，，，，若，则的取值范围为___________．

解：由已知得，，所以；又，

故不等式对于任意恒成立，

即，恒成立.

构造，易得函数的值域为，故.

所以，所求的取值范围为．

2.设，已知是首项为，公差为的等差数列，，若对于任意正整数，都有成立，则的取值范围是_______________.

解由已知，所以.

由题意对于任意正整数都成立，即是数列中的最小项.

构造函数，易知该函数在区间和上都严格减；

且在区间上，恒成立，在区间上，恒成立，

题意即，且

即，即，故所求取值范围为.

3．已知，，若函数在区间内既有极大值点又有极小值点，则的取值范围是___________．

解因为，由题意知在内有两实数根，即有两解，所以.

经检验时，令方程的两根，（），

当和时；当时，；

所以函数在区间内有极大值和极小值.

所以所求的取值范围是.

4．设数列的首项为常数，且，又．若是严格增数列，求的取值范围．

解由，得，进而．

易证，故数列是等比数列，所以，

即．

由严格增，即对任意正整数成立，亦即对任意正整数成立．

化简，得对任意正整数成立．

当为正偶数时，由对任意正偶数成立，得，所以；

当为正奇数时，由对任意正奇数成立，得，所以．

综上，的取值范围为．

5.圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，为