第08讲 函数的应用（原卷版）.docx

第08讲函数的应用

【知识点总结】

一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

四、二分法

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

五、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

六、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

例2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（）

A．0或 B．0 C． D．0或

例3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，则函数的零点为（）

A． B．，0 C． D．0

例4．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点一定位于下列哪个区间内（）

A． B． C． D．

例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（）

A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪

例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

例7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数的部分函数值如下表所示：

x

1

0.5

0.75

0.625

0.5625

0.6321

0.2776

0.0897

那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（）

A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89

例8．（2022·全国·模拟预测）在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度（单位：）与时间（单位：）的关系式为，其中为时的药物浓度，为常数.已知给某患者注射某剂量为的药物后，测得不同时间药物浓度如下：

1.0

2.0

109.78

80.35

则该药物的的值大约为（）

A．0.287 B．0.312 C．0.323 D．0.356

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）若函数经过点，则函数的零点是（）

A．0，2 B．0， C．0， D．2，

2．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的零点是（）

A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点为（）

A． B．，0 C． D．0

4．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点之和为（）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（）

A． B．

C． D．

6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则实数根的个数为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知是函数的一个零点，若，则（）

A．， B．，

C．， D．，

8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值表如下：

1

2

3

4

5

1.4

3.5

5.4

－5.5

－6.7

则方程必存在有根的一个区间是（）

A． B．

C． D．

9．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（）

A． B． C． D．

10．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，则下列区间中，的零点所在的区间是（）

A． B． C． D．

11．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

12．（2