第11章 专项2用几何法求空间角 复习课讲义-2021-2022学年高二（暑期）数学人教B版必修4（解析版）.docx

第十一章《立体几何初步》复习课讲义

专项2用几何法求空间角

知识梳理.空间角

1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线

（1）异面直线所成的角的范围：．

（2）求法：平移→

2．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).0°≤φ≤90°

3．求二面角的大小

(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．

题型一.点到面的距离

1．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则P到平面BQD的距离为1213

【解答】解：∵Q为线段AP的中点，

∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离，

设A到平面BDQ距离为d，则

∵PA⊥平面ABCD，AQ＝1，AB＝3，BC＝4，

∴BQ=10，DQ=17，BD＝

∴cos∠BQD=10+17-25

∴sin∠BQD=13

∴S△BQD=1

∵S△BAD＝6，

∴由VA﹣BDQ＝VQ﹣DAB可得13

∴d=12

故答案为：1213

2．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，若则点A到平面A1BC的距离为（）

A．34 B．32 C．334

【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，

∵VA

∴13

∴13

解得h=3

故选：B．

3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．

（Ⅰ）在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．

（Ⅱ）求点D到平面PAM的距离．

【解答】解：（Ⅰ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，

证明如下：

取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，

在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，

所以A，Q，M，D四点共面．

（Ⅱ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，

取AD中点O，连结OP，OC，AC，可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．

在Rt△POC中，PO＝OC=3，PC=

在△PAC中，PA＝AC＝2，PC=6，边PC上的高AM=

所以△PAC的面积S△PAC=1

设点D到平面PAC的距离为h，S△ACD=

由VD﹣PAC＝VP﹣ACD得13×152

所以点D到平面PAM的距离为215

4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB＝EA，且PA⊥AC，PC⊥BC．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA＝2BC且AB＝EA，三棱锥P﹣ABC．体积为1，求点B到平面DCE的距离．

【解答】证明：（Ⅰ）∵在正△AEB中，D是AB的中点，∴ED⊥AB，

∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴ED∥PA，∴PA⊥AB，

又PA⊥AC，AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC，

∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC，

又PC⊥BC，PA∩PC＝P，∴BC⊥平面PAC．

解：（Ⅱ）设AB＝EA＝a，则PB＝2a，PA＝2BC=3a

AC=a

∵三棱锥P﹣ABC体积为1，

∴VP﹣ABC=13

解得a＝2，

以C为原点，CB，CA，过C点作平面ABC的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

B（3，0，0），A（0，1，0），D（32，1

C（0，0，0），P（0，1，23），E（32，12，

CB→=（3，0，0），CD→=（32，1

设平面DCE的法向量n→=（x，y，

则n→?CD→=32x+12y=0

∴点B到平面DCE的距离d=|

题型二.异面直线所成的角

1．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是（）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【解答】解：连接AC，并取其中点为O，连接OM，ON

则OM∥=BC，ON∥=

∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．

由MN＝BC＝4，PA＝43，

得OM＝2，ON＝23，MN＝4，

cos∠ONM=O

∴∠ONM＝30°．

即异面直线PA与MN成30°的角．

故选：A．

2．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD