解密14 数列的通项公式常考求法 (解析版）.docx

解密14数列的通项公式常考求法

【考点解密】

1．Sn和an关系法求数列通项（作差法）：

(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))转化为关于an的关系式，再求通项公式．

(2)Sn与an关系问题的求解思路

方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．

方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．

2．累加法

当出现an＋1＝an＋f(n)时，用累加法求解．

3．累乘法

当出现eq\f(an＋1,an)＝f(n)时，用累乘法求解．

4．构造法

类型1：用“待定系数法”构造等比数列

1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；

2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；

3、构造等比数列

类型2：用“同除法”构造等差数列

1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式；

2、两边同除；

3、构造数列为等差数列

类型3：用两边同时取倒数构造等差数列（1）

1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；

2、两边同时取倒数转化为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型；

3、构造数列为等差数列.

类型3：用“同除法”构造等差数列（2）

1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；

2、两边同除；

3、构造出新的等差数列

类型4：用“待定系数法”构造等比数列

an＋1＝pan＋qan－1

1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；

2、可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根；

3、若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．

【方法技巧】

【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【核心题型】

题型一：累加法求通项公式

1．（2022·上海虹口·统考一模）已知函数，数列满足，且（为正整数）．则（????）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】将进行整理，可以求出其通项公式，再代入可得答案.

【详解】由，

，

故选：C

2．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.

【详解】因为，则，

当时，

，显然满足上式，即有，

所以．

故选：A

3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（????）

A．196 B．197 C．198 D．199

【答案】C

【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用累加法计算即可得.

【详解】设该数列为，则；

由二阶等差数列的定义可知，

所以数列是以为首项，公差的等差数列，

即，所以

将所有上式累加可得，所以；

即该数列的第15项为.

故选：C

题型二：累乘法求通项公式

4．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得；

【详解】解：由，得，

即，则，，，…，，

由累乘法可得，所以，

又，符合上式，所以.

故选：D．

5．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列中，且，则它的前项和（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用累乘法求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法可求得的值.

【详解】，，，

因此，.

故选：A.

6．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题干中的递推公式，利用累乘法求解数列的通项公式，利用错位相减法求解，分离参数，利用函数的单调性求解参数的取值范围.

【详解】解:由，得

，

所以，当时，，符合上式，

所以．

所以，，

作差得，

所以．由，得，

整理得．

易知函数在上单调递增，所以当时，，所以.

故选：A．

题型三：Sn和an关系法求数列通项

7．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列满足，若数列为单