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习题3*5(i)用归纳法证明

1+3+5+…+(2n-1)2=n2证:对k用归纳法证明.k=1时结论显然成立.若n-1时结论成立1+3+5+…+(2n-3)=(n-1)2则1+3+5+…+(2n-1)2=1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1)=(n-1)2+(2n-1)=n2-2n+1+2n-1=n2126543试证:为正规矩阵解所以A为正规矩阵.易见:A不是对角阵且A*?A和A*?-A因此,A不是Hermite矩阵,也不是反Hermite矩阵.123456习题3*6习题3*7证明:对任意正定矩阵A,任意正整数k都有正定矩阵S使Sk=A证:因为A是正定矩阵,所以存在U?Un?n使得A=Udiag(?1,…,?n)U*,其中?1,…,?n是全为正数.令S=Udiag(?11/k,…,?n1/k)U*,其中?i1/k是正数?i的k次算术根,也全为正数.由此推出:Sk=A,并且S酉相似于对角元全为正数的对角矩阵,从而得证S是正定Hermite矩阵STEP03STEP04STEP01STEP024-1:求A=的满秩分解.解1:A????????=C∴A=BC,B=(A5,A3,A1)=习题4-1(1)03????=C02解2:A????014-1:求A=的满秩分解.04∴A=BC,B=(A1,A2,A3)=习题4-1(1)4-1(2):求A=的满秩分解.01解:A??02??=C03∴A=BC,B=(A1,A3)=04习题4-1(2)求A=的奇异值分解.解:A的奇异值是:?2,1;?=diag(?2,1)AA*的对应于特征值2,1的单位特征向量是(1/?2,1/?2,0)T,(1,0,0)T0103020405习题4-2A的奇异值分解是:习题4*1A与B酉等价?A与B奇异值相同?必要性:A=UBV?AA*=UBVV*B*U*=UBB*U*?BB*∴AA*与BB*有相同的特征值集,得证A与B有相同的奇异值集.?充分性:作A,B的奇异值分解A=UDV*,B=U1DV1*,D=diag(?,0),其中,?是由它们的全部正奇异值组成的正对角矩阵.于是U*AV=D=U1*BV1?A=(UU1*)B(V1V*)因酉矩阵的乘积UU1*,V1V*仍为酉矩阵,故上式表明A酉等价于B.习题4*24*2:设A?Crm?n,U?Um?m,V?Un?n使B=U*AV=diag(?,0),?=diag(b1,…,br),(*)则|b1|,…,|br|为A的全部正奇异值.证:U*AA*U=BB*=diag(??*,0)?写成?2不对！=diag(|b1|2,…,|br|2,0,…,0)∽AA*∴|b1|,…,|br|为A的全部正奇异值.奇异值分解定理另一(更强)表述定理:令?1,…,?r为A?Crm?n的全部正奇异值;?=diag(?1,…,?r),则有U?Um?m,V?Un?n使U*AV==D?Crm?n(*)反之,若有U?Um?m,V?Un?n使(*)成立,其中?=diag(d1,…,dr),?i,di0,则d1,…,dr为A的全部正奇异值.(奇异值分解的某种唯一性)证:AA*=UV*VU*=UU*∽diag(d12,…,dr2,0,…,0)∴d1,…,dr为A的全部正奇异值.注:后半部等价于补充题4*2.4*3已知A奇异值求AT,A*,A-1的奇异值补充题4*3:令?1,…,?r为A?Crm?n的全部正奇异值;?=diag(?1,…,?r),则有U?Um?m,V?Un?n使A=UV*=Udiag(?,0)V*(*)易见A*=Vdiag(?,0)U*AT=(Udiag(?,0)V*)T=(V*)Tdiag(?,0)UT∴?1,…,?r为A*,AT,的全部正奇异值(利用奇异值分解定理的更强表述).A-1=(U?V