矩阵和向量的应用.ppt

第三章矩阵和向量的应用

向量空间

,V,kR,V,kV

n向量空间及其子空间

31.定义：设V是n维向量的

R(a1,a2,a3)a1,a2,a3非空R集合，如果V对于

向量加法

例如n：

R(a1,a2,,an)a1,2a.2及,数乘,两a种n运算封R闭，

即：

V1(0,a2,,an)a2,○则称,a集n合V为Rn维向量空间,

简称为向量空间。

V2k11k22kmmk1,k2,,kmR

L(1,2,,m)

V3(1,a2,,an)a2,,anR

2.子空间：W、V为向量空间，若WV，则称W是V的子空间。

如

V1(0,a2,,an)a2,,anR

都是n的子空间。

V2L(1,2,,m)R

例：

V1L(1,2,,m)V2L(1,2,,s)

若1,2,,m与1,2,,s等价，则V1V2

只需证明

V1V2且V1V2

向量空间的基与维数

定义：

若n维向量空间V中的向量组1,2,,r满足

(i)1,2,,r线性无关；

(ii)V中向量均可由1,2,,r线性表示。

则称1,2,,r为V的一个基。

基中所含向量个数r称为向量空间的维数。

n的维数为；

R若向量空间n的基基为为e1,e2,,en；

V1(0,a2,,an)a2,,anR

的维数为n1；基为e2,,en；

V2L(1,2,,m)的维数为

1,2,,m的秩r(1,2,,m).

1,2,,m的极大无关组。

基为

1,2,,r

VL(1,2,,r)

向量在基下的坐标

定义：设

1,2,,r是向量空间V的基，V,且

k11k22krr

则称系数k1，k2，，kr为在基

1，2，，r下的坐标。

注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）

2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。

你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？

详见参考书第59页。

3.向量在一组基下的坐标如何求？

一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。

线性方程组

a11x1a12x2a1nxn0



a2方1程x组1的a22x2a2nxn0

矩阵形式

称为齐次线性方程组。

