高等应用数学.pptVIP

三个坐标面把空间分成了八部分，每部分叫做一个卦限（见图6-3）.这八个卦限次序规定如下:图6-2点P位置解解图5-15例9示意图5-9解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案答案第三节定积分在物理中的应用定积分的应用十分广泛，自然科学、工程技术中的许多问题都可以使用定积分这种数学模型来解决.下面讨论一些物理方面的实例，旨在加强读者微元法建立定积分模型.一、变力做功但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就是下面要讨论的变力做功问题.图5-17电场力所做的功解下面再举一个计算功的问题，但它通过定积分的微元法，先求功微元，再求定积分，并给出了一个解决此类问题的数学模型.解图5-18例题抽水做功二、液体压力解图5-19例3水箱图5-20例3液体压力解图5-23液体压力计算返回返回返回返回返回返回返回返回第五章积分的应用第一节定积分的微元法第二节定积分在几何中的应用第三节定积分在物理中的应用第四节定积分在经济问题中的简单应用第五节常微分方程简介第一节定积分的微元法本章用定积分方法分析和解决一些实际问题.通过一些实际例子，不仅可以掌握某些量的计算公式，而且更重要的是学会运用微分元法将一个未知量表达成定积分的分析方法.在第四章中，利用定积分表示曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这些量时，均采用了分割、近似、求和、取极限四个步骤，建立了所求量的积分式.以求曲边梯形面积为例子，简单回顾一下求解过程.思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第二节定积分在几何中的应用1.在直角坐标系下的计算一、平面图形的面积5-3微元法求面积5-2微元法求面积解图5-4例1示意图解图5-5例2示意图解图5-6例3示意图解图5-7例4示意图2.在极坐标系下的面积计算5-8解图5-9例5、例10示意图图5-8微元法求曲边扇形面积二、旋转体的体积解5-12解图5-12例6示意图图5-13例7示意图三、求平面曲线弧长图5-14微元法求弧长计算广义积分时，为了书写方便，实际计算中常常略去极限符号，形式上直接利用牛顿-莱布尼兹公式的计算式（注意是形式上）.解解证思考题答案答案课堂练习题答案答案第七节数学实验四用Mathematica计算积分一、学习Mathematica命令二、求不定积分例1计算下列不定积分：解三、求定积分及广义积分例2计算下列积分解返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面提供了在定积分与原函数之间建立联系的可能性！解解证二、牛顿—莱布尼兹公式解解解解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案答案第五节定积分的换元法与分部积分法前面学习了使用换元积分法求已知函数的原函数，在某些条件下换元积分法也可以用计算定积分.式（4-9）称为定积分的换元公式一、定积分的换元法在应用定积分的换元公式（4-9）时，应注意解这一解法没有引入新的积分变量.计算时，原积分的上、下限不要改变.解解先把被积函数化简证在计算对称区间上的定积分时，如果能判定被积函数的奇偶性，利用这一结果可使计算简化.解解解图4-14例7几何意义式（4-10）称为定积分的分部积分法，其方法与不定积分相类似，但其结果不相同.(定积分是一个数值，面不定积分是一类函数！)二、定积分的分部积分法解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第六节、广义积分前面曾提到，若被积函数在积分区间上有无穷不连续点时，不能应用牛顿-莱布尼兹公式计算.这是因为牛顿-莱布尼兹公式的使用受到以下两个条件的限制.为了使定积分的应用更加广泛，将上述两个条件放宽，使得公式对积分区间为无穷区间，或被积函数在有限的积分区间上为无界函数的积分也能使用.这两种积分称为广义积分，相应地，前面讨论的积分称为常义积.本书仅讨论积分区间为无穷区间的广义积分.一般地，对于积分区间无限的情形，给出下面的定义.第三节定积分的概念与性质1.曲边梯形的面积在初等数学中，已经解决了圆、