安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第四次素质拓展数学 Word版无答案.docx

合肥一中高三上学期素质拓展4

数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.设集合，集合，则（）

A. B.

C. D.

2.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）

A. B.

C. D.

3.已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（）

A.等边三角形 B.锐角三角形

C.直角三角形 D.钝角三角形

4.已知直线与曲线切于点，则b的值为（）

A.3 B. C.5 D.

5.下列叙述中正确的个数是：（）

①若，，为平面向量，则；

②向量与垂直；

③，，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是

④.记，则向量在向量上的投影向量为

A.0 B.1 C.2 D.3

6.若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的（）条件

A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要 D.既不充分也不必要

7.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

8.定义域在R上奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（）.

A. B. C. D.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.

9.已知，则下列不等式一定成立的有（）

A. B. C. D.

10.已知函数的部分图象如图所示，则（）

A.

B.函数f(x)的图象关于对称

C.函数f(x)的图象关于对称

D.函数f(x)在上单调递增

11.已知实数，满足，则（）

A.当时， B.当时，

C.当时， D.当时，

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.已知是三角形内角，若，则________．

13.已知函数处有极小值，则实数______．

14.圆与圆半径分别为1和2，两圆外切于点P，点A，B分别为圆上的动点，，则的最小值为___________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15已知函数.

（1）求函数的最小值，及取最小值时的x的值；

（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.

16.在平面四边形中，.

（1）求的长；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

17.已知函数

（1）讨论单调性；

（2）证明：当时，.

18.如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.

（1）问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值.

（2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求.

（3）求面积的最大值.

19.意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.

（1）求曲线在处的切线斜率；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：

（3）（i）证明：当时，；

（ii）证明：.