相似矩阵及二次型.ppt

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线性代数

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n维向量空间是三维向量空间的直接推广,但是只定义了线性运算,而三维

空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.

§5.1向量的内积、长度及正交性

引言

我们希望把这两个概念推广到n维向量空间中.

在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)

xyxycos(x,y)

建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积

设

TT

则x(x1,x2,x3),y(y1,y2,y3)

xyx1y1x2y2x3y3

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一、内积的定义及性质河南工程学院

设有n维向量

TT

x(x1,x2,,xn),y(y1,y2,,yn)

TT

令x,yx1y1x2y2xnynxyyx

内积定义

称x,y为向量x与y的.

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(1)[x,y][y,x];

(2)[x,y][x,y];

(3)[xy,z][x,z][y,z];

(4)[x,x]0,且当x0时,有[x,x]0.

著名的Cauchy-Schwarz不等式

[x,y]2[x,x][y,y]

n2nn

即22

xiyixiyi

i1i1i1

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二、向量的长度及性质河南工程学院

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x[x,x]x1x2xn,

称x为n维向量x的长度或范数.

1.非负性当x0时,x0;当x0时,x0;

2.齐次性xx;

3.三角不等式xyxy.

(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P114)

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1当x1时,称x为.

正交

[x,y]

2当x0,y0时夹角,.arccos

xy

称为n维向量x与y的单