2025年三个空间角公式 .pdfVIP

博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》

三个空间角公式

1.三余弦定理的基础知识

三余弦指的是空间中的三个角的余弦值，在上方链接投影法求一面直线夹角

中，三个角分别为直线l1与特定平面所成的夹角θ1,直线l2与特定平面所成夹

角θ2，两条直线在特定平面上投影的夹角为α，此时两条异面直线的夹角余弦值

公式为：

cosX=cosαcosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2，关于该公式的证明自己查看上述链

接即可。

在这个异面直线夹角余弦值的公式中，两条直线异面且不在同一个特定平面

内，若其中一条直线不在平面内且另外一条直线在平面内，此时在平面内的那条

直线与平面的夹角θ2就是0，所以正弦值也为0，余弦值为1，此时公式为

穷则独善其身，达则兼善天下。——《孟子》

cosX=cosαcosθ1，这就是典型的三余弦定理的公式，一定要知道该公式是怎么

来的，图示如下图所示：

从公式中知道需要有三条线，这三条线形成三个角，三个角又形成三个面，

我们求得就是与这三个角有关的内容，这三条线分别为平面内的一条线，平面外

的一条线与该直线在平面内的射影，这么一看是不是和三垂线定理一样，没错，

如果把平面内的一条直线与平面外直线的射影垂直，那么利用这个公式就能判定

斜线和平面内的直线夹角为90°。

2.三余弦定理在求直线夹角中的应用

这个公式更多应用在求异面直线夹角的余弦值当中，在同一个面中直接利用

三角函数求更容易，因此三余弦定理在高中立体几何中的应用更多体现在异面直

线夹角和所推广开的二面角中，有关三余弦定理在异面直线中的应用可参考链接

中的这个典型题目：

志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟

例1：如下图中正方体中，点M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的

中心，点P为棱A1B1上任意一点，求直线OP与直线AM之间所成角的余弦

值

解析：点P为A1B1上运动，无论点P在哪个位置，OP在左侧面上的投影

均为OA1,此时发现AM和OA1之间的夹角为90°，所以此时直线OP和AM

所成角的余弦值就等于OP与左侧面夹角的余弦值，考虑到AM就在左侧面上，

所以AM与左侧面的夹角为0，正弦值也为0，所以可知异面直线OP和AM之

间夹角的余弦值等于0，所以两条直线的夹角为90°。

第二题是一道看似简单但很容易做错的题目，根据已知的条件，AB=√3,BC’

=4,在三角形ABC中直接利用余弦定理可得到：

为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。——张载

但AC取得最大值时∠ABC为0°，这是不可能的，题目中平面BEC⊥平面

ABED,BC在底面上的投影为BE，利用三余弦公式可知cos∠ABC=cos∠

EBCcos∠ABE,且角∠EBC和∠ABE的和正好为90°，因此设∠EBC=α，∠ABE=90°

-α，而且还能知道α的范围为(0,60°)，这样就可通过三余弦定理将一个不确定范

围的角度转化为一个确定范围的角度，进而求出最值，过程如下：

3.三余弦定理在求线面角中的应用

从上面第二题能看出，三余弦定理有局限，因为它需要确切的直线投影，所

以题目中要出现必要的垂直关系，因此三余弦定理在线面角中的应用也很有局限

性，以下面一个题目为例说明一下：

子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”——《论语》

当然这个题目很简单，不用三余弦定理反而更容易求，无论是利用等体积法