解密08 三角函数图像与性质（解析版）.docx

解密09讲：三角函数图像与性质

【考点解密】

1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

R

R

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))

值域

[－1,1]

[－1,1]

R

周期性

2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))

[2kπ，2kπ＋π]

对称中心

(kπ，0)

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))

对称轴方程

x＝kπ＋eq\f(π,2)

x＝kπ

2．简谐运动的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T＝eq\f(2π,ω)

f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)

ωx＋φ

φ

3．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)一个周期内的简图时，要找五个特征点

x

eq\f(0－φ,ω)

eq\f(\f(π,2)－φ,ω)

eq\f(π－φ,ω)

eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)

eq\f(2π－φ,ω)

ωx＋φ

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

y＝Asin(ωx＋φ)

0

A

0

－A

0

4．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径

【方法技巧】

1．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型

(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．

(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．

(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

2．求三角函数周期的方法

(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq\f(2π,|ω|)；

对形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，．

形如y＝|Asinωx|(或y＝|Acosωx|)的函数的周期T＝eq\f(π,|ω|).

(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．

3．三角函数周期性与奇偶性、对称性的解题策略

(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．

(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．

(3)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z))，求x即可．

(4)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可．

4．求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法

y＝tan(ωx＋φ)(ω0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－eq\f(π,2)＋kπωx＋φeq\f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．当ω0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．

5．(1)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

(2)当x