高三提优课教案详 专题4 函数综合问题（教师版）.docx

PAGE1

专题四函数综合问题

一、典例分析

例1．已知函数f(x)的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（????）

A．B．C． D．

（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）

【详解】因为当时，所以，又因为，

则，，，

，

，则依次下去可知，则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.故选：B.

构造数列的递推关系：a1

例2．设是定义域为的函数，集合，且对任意，都有，在使得，的所有中，下列成立的是

A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值

C．存在为严格增函数 D．存在在处取到极小值

（上海高考2024年16题）

解对于A，若存在是偶函数,取,

则对于任意,而,矛盾,故A错误；

对于B，可构造函数满足集合，

当时，则，当时，，当时，，

则该函数的最大值是，则B正确；

对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；

对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.

例3.设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（????）

A． B． C．1 D．2

（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）

【详解】解法一：令，即，可得，

令，等价于当时，曲线与恰有一个交点，

注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，解得.

若，令，可得

因为，则，当且仅当时，等号成立.

可得，当且仅当时，等号成立，

则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，

所以符合题意；综上所述：.

解法二：令，

原题意等价于有且仅有一个零点，

因为，则为偶函数，

根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，

若，则，因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，

即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.

例4．若过点可以作曲线的两条切线，则（????）

A．B．C． D．

（2021年全国新高考I卷数学试题）

解在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，由题意可知，直线与曲线的图像有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图像：

由图可知，当时，直线与曲线的图像有两个交点.故选：D.

解法二：画出函数曲线的图像如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

例5（多选）已知函数，则（????）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

（2022年新高考全国I卷数学真题）

解由题意，，令得或，令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，将的图像向上移动一个单位得到的图像，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.

故选：AC.

例6.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为___________.

解当时，，由是奇函数，可作出的图像如下．

又对任意恒成立，所以的图像恒在的图像的下方，

即将的图像向右平移1个单位长度后得到的图像恒在的图像的下方，

如图所示，所以，解得．

例7.已知，函数若，则实数t的取值范围为.

解①当时,,

.

②当时,及，恒成立，．

综上可知：实数t的取值范围为.

例8已知函数（且）和函数，若与两图像只有3个交点，则的取值范围是（D）

A．B．C．D．

解如图：当时，与两图像只有3个交点，可得

当时，与两图像只有3个交点，可得

所以的取值范围是，故答案选.

例9.已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是(D)

（A）（B）（C）（D）

解由得：

所以

，

所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，

即函数与函数的图像的4个公共点，由图像可知.

例10.已知函数是定义域为的偶函数，当时

若关于的方程有6个根，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

试题分析：，作函数的图象如右图，

设方程的两个根为；①若，故，故；②若，故，故；故选C．

例11.已知函数．（1）求证：函数的图像与轴恒有公共点；

（2）当时，求函数的定义域；

（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．

解