第05讲 复数的三角表示 -2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（原卷版）.docx

第5讲复数的三角表示

知识点1复数的三角表达式

1.定义：

r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

注意：复数三角形式的特点

模非负，角相同，余弦前，加号连

2．非零复数z辐角θ的多值性

以x轴正半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)(k∈Z)．

3.辐角主值

(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．

(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．即0≤argz2π.

(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．

知识点2复数的代数形式与三角形式的互化

复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝r·cosθ，,b＝r·sinθ，,r＝\r(a2＋b2).))

知识点3两个用三角形式表示的复数相等的充要条件

两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．

知识点4复数三角形式的乘法及其几何意义

设、的三角形式分别是：

简记为：模数相乘，幅角相加.

几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是．

知识点5复数三角形式的除法及其几何意义

设、的三角形式分别是：

简记为：模数相除，幅角相减

几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是．

考点一复数代数形式表示成三角形式

解题方略：

复数代数形式表示成三角形式的方法

先由复数确定点(a，b)所在的象限，而a，b的符号决定角θ的终边所在的象限，然后由tanθ＝eq\f(b,a)确定θ角的大小．对于实部和虚部都是三角函数的复数求辐角，可灵活运用三角公式化为复数的三角形式，若复数为零，则辐角任意．

【例1】下列复数是复数三角形式表示的是()

A.eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)－isin\f(π,4))) B．－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))

C.eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3,4)π＋icos\f(3,4)π)) D．coseq\f(7,5)π＋isineq\f(7,5)π

变式1：复数2eq\r(3)＋2i的三角形式为________________．

变式2：若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（???????）

A． B．

C． D．

变式2：复数z＝isin10°的三角形式是()

A．cos10°＋isin10°B．isin10°C．sin10°(cos90°＋isin90°)D．sin10°(cos0°＋isin0°)

变式3：复数(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)的三角形式是()

A．sin30°＋icos30° B．cos160°＋isin160°

C．cos30°＋isin30° D．sin160°＋icos160°

变式4：若a0，则a的三角形式为()

A．a(cos0＋isin0)B．a(cosπ＋isinπ)

C．－a(cosπ＋isinπ) D．－a(cosπ－isinπ)

变式5：已知复数满足，且，则的三角形式为__________．

【例2】复数的三角形式eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))转化为代数形式．

变式1：复数10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)＋isin\f(7π,6)))表示成代数形式为________．

变式2：在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.(用代数形式表示).

考点二复数三角形式的概念

解题方略：

明确复数三角形式的相关概念是准确解答此类问题的基础，另外掌握复数三角形式的乘