第08讲 函数的应用（解析版）.docx

第08讲函数的应用

【知识点总结】

一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

四、二分法

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

五、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

六、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

【典型例题】

例1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【详解】

因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，

又f(0)＜0，f（2）＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点．

故选：A.

例2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（）

A．0或 B．0 C． D．0或

【答案】A

【详解】

因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，

所以b＝－2a，

所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．

令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．

故选：A

例3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，则函数的零点为（）

A． B．，0 C． D．0

【答案】D

【详解】

函数

当时，

令，解得

当时，

令，解得（舍去）

综上函数的零点为0.

故选：D.

例4．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点一定位于下列哪个区间内（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：解不等式得或，

所以函数的定义域为，

因为，

，，，，

所以，

所以根据零点的存在性定理得在区间上必有零点，

所以函数的零点一定位于区间内.

故选：C

例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（）

A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪

【答案】D

【详解】

当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；

函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，

所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，

解得a＜－1或a＞.

故选：D.

例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

因为函数仅有一个零点，

所以与图像只有一个交点.

对于，求导得.令，得或.

所以当时单调递增；当时单调递减；当时单调递增.

所以当时函数有极大值，当时函数有极小值.

作与的图像如下图所示.

由图可知，当与图像只有一个交点时，或，即或.

故选:D

例7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数的部分函数值如下表所示：

x

1

0.5

0.75

0.625

0.5625

0.6321

0.2776

0.0897

那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（）

A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89

【答案】B

【详解】

根据给的数据知道方程的根在区间内，所以近似解为0.57

故选：B

例8．（2022·全国·模拟预测）在药物代谢动力学中，注射药物后瞬时药物浓度（单位：）与时间（单位：）的关系式为，其中为时的药物浓度，为常数.已知给某患者注射某剂量为的药物后，测得不同时间药物浓度如下：

1.0

2.0

109.78

80.35

则该药物的的值大约为（）

A．0.287 B．0.312 C．0.323 D．0.356

【答案】B

【详解】

由题得，，

两式相除得，所以.

故选：B.

【技能提升训练】

一、单选题

1．（