高三提优课教案详 专题10 数形结合（教师版）.docx

专题十数形结合思想

例1对于具有相同定义域D的函数y=f(x)和y=g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任意的正数m,存在相应的

(1)f(x)=

3

其中,曲线y=f(

A.(1)(4) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(3)(4)

【解析】由题意知x→+∞时,f(x)与g(

(1)f(x)=

2

hx=2且f(

(3)f(x)=x2

当x1时f(x)与g(x)

(4)

当

由图像知f(x)与g(x)有共同的渐近线

例2已知直线上有两个点、，已知满足，若，，则这样的点有几个？

解设，，

，则夹角为或，如下图，

当关于对称时，，则，故（这是一个临界值），此时有一个点，

根据对称性，在，上下移动过程中，既要保持，又要保持，这样的点上下各有一个，故一共有三个点．故答案为：3．

例3设x0,y0,

证明由题设x0,y0,有x2-xy+y2=x2+y2-2xycos?60°,由余弦定理,此式表示以x

BC

四面体O-ABC的底面是△ABC

即x2-xy+

【解

构造动

则

如图所示,过点P作PH⊥l于H,过点A作于,交抛物线于,故有=2=.当且仅当P在处时,f(x)取得最小值.

例5对于函数y=f(x),若存在x0,使f(x0)+f(-x0)=0,则称点(x0,f(x0))是曲线

解析:由“优美点”的定义,可知若点(x0,f(x

则点(-x0,-f(x0

如图所示,作出函数y=x

y=-x

设过定点(0,2)的直线y=k1x+2与曲线y=f(x)=-

则

如图可知

由图可知,若曲线y=f(x)存在“优美点”,则k≤2-2

例6已知λ∈R,函数fx=x-4,x≥λ,x2-4

解析:当λ=2时,f(x)=x-4

当x≥2时,f(x)=x-40,解得x4,∴2≤x4.

当x2时,f(x)=x2-4x+30,解得1x3

综上可知,1x4,即f(x)≤0的解集为(1,4).

分别画出y1=x-4和y2

由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1λ≤3或λ4.

故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞)

例

【

消去

使方程

充

例8已知集合，

是否存在正整数和使得若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由。

【解析】画出4x2+2x-2y+5=0和y2=x+1

就是要直线与上述两条拋物线均无交点

而且方程组和均无实数解。

把①代入②得。把③代入④得，由Δ1=4k2

1-

因此存在正整数k=1,b=2

例9已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_____________

解首先理解条件，即时，不等式恒成立，可判断出函数为奇函数，故先作出的图像，即，参数的符号决定开口方向与对称轴。故分类讨论：当时，单调递增，且为向左平移个单位，观察图像可得不存在满足条件的，当时，开口向下，且为向右平移个单位，观察可得只需，，即可保证，的图像始终在的下方。解得：；当时，代入验证不符题意。

例10已知f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间

(1)求f(x)

(2)对自然数k,求集合Mk=a∣使方程

【解析】(1)∵2是f(x)的周期,当k∈Z

又∵当x∈Ik

即对k∈Z,当x∈

(2)【解法一】(转化为求直线y=ax斜率a

方程，即有两个不等实根，，。令，，，，如图5—32所示，在同一坐标系中分别作出，的图像，的图像是过原点，斜率为a的直线，方程有两个不等实根的充要条件是在图像有两个不同交点，见图，当时两图像有两个不同交点.从而，原方程有两不等实根时,

【解法二】（分离变量,将方程转化为函数模型,寻求问题的几何意义）

联立得。令，，，作这两个函数的图像，如图所示。图像有两个不同交点的充要条件是。即，.

【解法三】(用根的分布理论求解)

令,则问题转化为的图像在区间(2k-1,2k+1]上与x轴有两个不同的交点，如图所示,其充要条件是

解得即

学生练习

1

解

的连线的斜率.而点B在半圆x2+y2=1(y?0)上,

故原题即求点A(3,2)与半圆x2+

当AB切半圆于B2时,AB的斜率最小,设此时AB的斜率为k,AB

由

2设a,b都是实数,试求:S

解

而点

如图

3已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A（－2，4），在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．

【解析】因为－228×4，所以点A（－2，4）在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线