第11章 专项3立体几何综合过关 复习课讲义-2021-2022学年高二（暑期）数学人教B版必修4（解析版）.docx

第十一章《立体几何初步》复习课讲义

专项3立体几何综合过关

一．选择题（共8小题）

1．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）

A．11π B．12π C．13π D．14π

【解答】解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：

两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，

∵BC＝4，∠ABC＝120°，

∴CO＝23，

∴几何体的体积V=13?

故选：B．

2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）

A．16π B．20π C．24π D．32π

【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，

正四棱柱的对角线长即球的直径为26，

∴球的半径为6，球的表面积是24π，

故选：C．

3．如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为（）

A．90° B．60° C．45° D．30°

【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE

则GF，GE分别为三角形ABD，三角形ACD的中线．

则GF∥AB，且GF=12AB＝1，GE∥CD，且GE=12

则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数，

又EF⊥AB，GF∥AB，

∴EF⊥GF，

则△GEF为直角三角形，GF＝1，GE＝2，∠GFE＝90°，

则在直角△GEF中，sin∠GEF=1

∴∠GEF＝30°．

故选：D．

4．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC

A．1 B．3 C．33 D．

【解答】解：∵底面是边长为3的正三角形，

∴底面正三角形的面积S=1

∴棱柱的体积V＝S?h=334h=9

设点P在面ABC上的投影为点Q，连接PQ、AQ，则∠PAQ即为所求，

∵P为底面A1B1C1的中心，∴Q也为面ABC的中心，

∴PQ＝h=3，AQ=3

在Rt△PQA中，tan∠PAQ=PQ

∴PA与平面ABC所成角的正切值为3．

故选：B．

5．如图所示，在立体图形D﹣ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

【解答】解：BE⊥AC，DE⊥AC?AC⊥平面BDE，

故平面ABC⊥平面BDE，

平面ADC⊥平面BDE．

故选：C．

6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛票的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（）立方丈

A．1334π B．13348π C．133

【解答】解：由题意1立方丈＝1000立方尺，故该长方体粮仓的体积为270001000

设长方体的高为h，则3×4.5×h＝27，∴h＝2（丈）．

∴2R=3

故V=4

故选：D．

7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，AP=3，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段

A．3 B．322 C．2 D

【解答】解：设BM＝x，MC＝y，则BC＝AD＝x+y，

∵PA⊥平面ABCD，MD?平面ABCD，∴PA⊥MD，

又AM⊥MD，PA∩AM＝A，∴MD⊥平面PAM，

由题意知AM=x2+1，

在Rt△AMD中，AM2+MD2＝AD2，

即x2+1+y2+1＝（x+y）2，化简，得xy＝1，

在Rt△PMD中，PM=x2+4，

∴S△PMD=12x

此时，BC＝x+y=3

故选：B．

8．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M、N分别为线段A1B、B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点Q为MN中点，则Q点的轨迹的长度是（）

A．22 B．32 C．1 D

【解答】解：∵M、N分别为线段A1B、B1C上的动点，点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，

∴MN∥平面ACC1A1，

∴A1M＝CN，

当A1M＝CN＝0时，此时MN的中点Q为平面ACC1A1的中心，即A1C的中点

当A1M＝CN=2时，此时MN的中点Q为BB1

∴Q点的轨迹△DEF的高，且△DEF为边长为1的等边三角形，

∴点的轨迹的长度是32

故选：B．

二．多选题（共4小题）

9．设m，n