第12讲 不等式大小关系及不等式的解法（解析版）.docx

第12讲不等式大小关系及不等式的解法

【知识点总结】

一、基本概念

不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在.不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”，“”，“”，“”，“”等）连接的式子叫做不等式，其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式.不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.

二、基本性质

不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.

1.两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）

（1）（传递性，注意找中间量）

（2）（同向可加性）

（3）（同正可乘性，注意条件为正）

2.一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据

（1）.

（2）（对称性）

（3）（乘正保号性）

（4）

（5）（不等量加等量）

（6）（乘方保号性，注意条件为正）

（7）（开方保号性，注意条件为正）

（8）（同号可倒性）；.

三、一元一次不等式（）

（1）若，解集为.

（2）若，解集为

（3）若，当时，解集为；当时，解集为

四、一元一次不等式组（）

（1），解集为.

（2），解集为

（3），解集为

（4），解集为

五、一元二次不等式

一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且

（1）当时，二次函数图象开口向上.

（2）=1\*GB3①若，解集为.

=2\*GB3②若，解集为.

=3\*GB3③若，解集为.

(2)当时，二次函数图象开口向下.

=1\*GB3①若，解集为

=2\*GB3②若，解集为

六、简单的一元高次不等式的解法

简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.

例如，解一元高次不等式

（1）将最高次项系数化为正数

（2）将分解为若干个一次因式或二次不可分因式（）

（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.

（4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律写出不等式的解集.

七、分式不等式

（1）

（2）

（3）

（4）

八、绝对值不等式

（1）

（2）；

；

（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【典型例题】

例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【详解】

A：若，则（），故A错误；

B：若，则，所以，所以B正确；

C：若，则，所以C错误；

D：若，则，故D错误.

故选：B.

例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（）

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

C．若a＞|b|，则a2＞b2

D．若a＞b，则

【答案】C

【详解】

当c＝0时，A不成立；

21，3－1，而2－31－(－1)，故B不成立；

a＝2，b＝1时，，D不成立；

由a|b|知a0，所以a2b2，C正确．

故选：C．

例3．（2022·全国·高三专题练习）实数，，满足且，则下列关系成立的是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由可得，利用完全平方可得

由可得，所以，

，，

综上，

故选：D

例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________.

【答案】0

【详解】

由题意，得：，

且，2是方程的两根，

则，，

解得，，则.

故答案为：0.

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.

【答案】

【详解】

由，得，得，

所以，

由，得，得，

所以，

因为是的充分不必要条件，

所以集合是集合的真子集，

所以，即．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题的解答关键是将是的充分不必要条件转化为集合是的真子集.

例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．

【答案】

【详解】

当时，不等式为有实数解，所以符合题意；

当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，符合题意；

当时，要使不等式有实数解，则需满足