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北民大往届离散数学试卷

一、选择题

1.离散数学中，下列哪个是集合论的基本概念？

A.图

B.树

C.函数

D.矩阵

2.在离散数学中，以下哪种图结构被称为无向图？

A.有向图

B.有权图

C.无权图

D.无向带权图

3.下列关于图论的叙述，哪个是错误的？

A.图论是研究图的性质和结构的学科。

B.有向图中的边是有方向的。

C.在无向图中，边的两个端点可以互换。

D.树是一种特殊的图，它没有环。

4.在集合论中，下列哪个是等价关系的定义？

A.自反性、对称性和传递性

B.稳定性、可传递性和一致性

C.自反性、非对称性和传递性

D.自反性、非传递性和一致性

5.在离散数学中，以下哪种关系被称为偏序关系？

A.等价关系

B.全序关系

C.偏序关系

D.非序关系

6.在离散数学中，下列哪个是图论中的一个基本定理？

A.欧拉定理

B.赫尔曼-波普法定理

C.莫里斯-克尼普定理

D.胡尔维茨定理

7.在离散数学中，下列哪个是函数的定义？

A.一个集合到另一个集合的映射

B.一个集合到其自身的映射

C.一个子集到其自身的映射

D.一个子集到另一个子集的映射

8.在离散数学中，以下哪个是布尔代数的定义？

A.一个集合上的运算系统

B.一个图论中的运算系统

C.一个组合数学中的运算系统

D.一个集合论中的运算系统

9.在离散数学中，以下哪个是递归定义的定义？

A.一个定义依赖于自身

B.一个定义依赖于其他定义

C.一个定义依赖于数学归纳法

D.一个定义依赖于函数

10.在离散数学中，以下哪个是归纳证明的步骤？

A.基础步骤、归纳步骤和结论

B.基础步骤、假设步骤和结论

C.假设步骤、基础步骤和结论

D.假设步骤、归纳步骤和结论

二、判断题

1.在图论中，如果一个无向图的所有边都是相等的，那么这个图一定是平衡的。（）

2.在集合论中，集合A和集合B的笛卡尔积A×B包含所有可能的有序对（a，b），其中a属于A，b属于B。（）

3.在离散数学中，一个函数f是从集合A到集合B的映射，如果对于A中的每个元素a，都存在唯一的b属于B使得f(a)=b，那么这个函数f是单射的。（）

4.在布尔代数中，对于任意元素a和b，有(a∨b)∨(a∧b)=a∨b。（）

5.在离散数学的递归定义中，如果一个递归定义包含一个基础情形和一个递归情形，那么这个定义一定是有效的。（）

三、填空题

1.在图论中，一个图的最小生成树是指一棵包含图中所有顶点的______树，且包含的边数最小。

2.集合论中，两个集合A和B的笛卡尔积A×B的基数（即元素个数）等于______。

3.函数f是从集合A到集合B的映射，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a)=b，那么f是______函数。

4.在布尔代数中，对于任意元素a和b，______运算符表示“非”运算。

5.在离散数学的数学归纳法中，证明一个性质P(n)对所有自然数n成立时，通常需要证明两部分：P(______)成立，以及假设P(k)成立时，证明P(k+1)也成立。

四、简答题

1.简述图论中图的连通性的概念，并说明如何判断一个无向图是否是连通的。

2.请解释集合论中的基数（cardinality）的概念，并举例说明如何计算有限集合的基数。

3.简要介绍递归函数的概念，并举例说明递归函数在离散数学中的应用。

4.解释什么是布尔代数，并列举布尔代数中的基本运算及其性质。

5.在离散数学中，为什么数学归纳法是证明数学命题的一种有效方法？请说明数学归纳法的基本步骤。

五、计算题

1.计算集合{1,2,3,4,5}的所有子集的个数。

2.给定一个有向图，其顶点集合为V={A,B,C,D}，边集合为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}，计算该图的所有简单路径。

3.设集合A={a,b,c}，集合B={1,2,3}，计算A×B的笛卡尔积，并列举所有可能的有序对。

4.已知递归函数f(n)=f(n-1)+2n-1，且f(1)=1，计算f(5)的值。

5.给定一个布尔表达式：(A∨B)∧(?C∨D)，其中A、B、C、D为布尔变量，计算该表达式的真值表。

六、案例分析题

1.案例分析：社交网络中的朋友圈推荐

假设你正在设计一个社交网络平台，该平台需要根据用户的兴趣和社交关系推荐新的朋友。用户在平台上有一个好友列表，以及一个表示兴趣的标签集合。请你分析如何使用图论中的概念来设计这个推荐系统。

2.案例分析：电子商务网站的商品分类

一个电子商务网站需要根据商品的