矩阵的特征值和特征向量.ppt

**推论如果n阶矩阵A的特征值互不相同则A相似于对角矩阵定理3.7n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征值,对应着个线性无关的特征向量.1相似变换若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵得特征值为解例矩阵能否相似于对角阵?A的特征方程为解方程组对于添加标题1解方程组添加标题2可求得特征向量添加标题3是对应于的全部特征向量.添加标题4不存在两个线性无关的特征向量.由定理可知A不能与对角阵相似.添加标题5因为是二重根,而对应于特征根添加标题6返回上页下页目录返回上页下页目录返回上页下页目录**第三章矩阵的特征值与特征向量§1方阵的特征值与特征向量§2矩阵的对角化**第1节方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的基本概念谢谢大家！定义3.1**例1解是不是**命题1命题2命题3矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。怎样求矩阵A的特征值与特征向量？即它有非零解的充分必要条件是添加标题添加标题添加标题矩阵的特征方程和特征多项式定义3.201添加标题A的特征方程02添加标题A的特征多项式03添加标题A的特征矩阵04添加标题特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。05求矩阵的特征值与特征向量的步骤2.求特征方程的根，即特征值3.对每个特征值求矩阵A的特征方程求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量便得属于解方程组的全部特征向量。例2：求矩阵的特征值和特征向量01添加标题解02添加标题A的特征多项式为03添加标题A的特征值为得基础解系01得基础解系02练习:求下列矩阵的特征值和特征向量添加标题A的特征值为添加标题解添加标题A的特征多项式为添加标题即添加标题对应的特征向量可取为对应的特征向量可取为3.1.2特征值与特征向量的性质添加标题定理1添加标题定理2添加标题推论添加标题若n阶方阵有互不相同的特征值添加标题则其对应的特征向量添加标题线性无关。定理3由于**定理4设A是n阶方阵，是的特征值.若为A的特征值，则**设A是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求（1）A的主对角线元素之和（2）解的特征值依次为例4试证n阶矩阵A是不可逆(奇异)矩阵的充要条件是A中至少有一个特征值为0。添加标题证明添加标题因为添加标题为A的特征值）添加标题所以添加标题的充分必要条件是至少有一个特征值添加标题为零。添加标题矩阵的对角化第2节**定义3.3设A和B为n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B，或说A和B相似(similar),记做AB.性质（1）反身性A相似于A（2）对称性A相似于B，可推出B相似于A（3）传递性A相似于B，B相似于C，可推出A相似于C。3.2.1相似矩阵及其性质～**容易证明相似矩阵的如下性质：（1）反身性，即（2）对称性，即如果则,（3）传递性，即如果,则,证明证明证明方阵的迹定义3.4方阵的迹是它的主对角线上的元素和添加标题例5添加标题tr(A)=2+(-3)+0=-1添加标题性质：(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(AB)=tr(BA)(性质3.1)添加标题性质3.1(2)设则证明故相似矩阵的性质若A和B相似，则A和B有相等的秩。方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2)证明（1）3.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。推论4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。TH5对角形矩阵是的全部特征值。易证则定理3.6n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。添加标题充分性添加