矩阵的相似对角化.ppt

《线性代数》下页结束返回《线性代数》下页结束返回第2节相似矩阵与矩阵的相似对角化一、相似矩阵及其性质二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页2.1相似矩阵及其性质定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.例如，5-131A=0-240B=，，1-511P=，因为1-511-11-5-116=-—P-1AP5-1311-5112-2-20-416=-—012-240=-—160-240=，所以A~B.相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足自反性：A~A对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B，B~C，则A~C下页定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证明：因为P-1AP=B，A与B有相同的特征多项式，|lE-B|=|P-1(lE)P-P-1AP|=|lE-P-1AP|=|P-1(lE-A)P|=|P-1|?|lE-A|?|P|=|lE-A|，所以它们有相同的特征值.下页定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.2.1相似矩阵及其性质相似矩阵还具有下述性质：(1)相似矩阵有相同的秩；(r(A)=r(B))(2)相似矩阵的行列式相等；(|A|=|B|)(3)相似矩阵的迹相等；(tr(A)=tr(B))(4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.下页定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.易见，|A|=|B|，且B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P.注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似反例注意：单位矩阵只能和它自己相似解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|,即解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|,即|A|=|D|＝12.下页例1.若矩阵相似，求x,y.解得例2.设3阶方阵A相似于,求|A|.定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵L=diag(l1,l2,???,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.必要性.设存在可逆矩阵P=(x1,x2,???,xn)使P-1AP=L，则有可得Axi=lixi(i=1,2,???,n).因为P可逆，所以x1,x2,???,xn都是非零向量，因而都是A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.l10???00l2???000???ln????????????A(x1,x2,???,xn)=(x1,x2,???,xn)，证明：=(l1x1,l2x2,???,lnxn)2.2n阶矩阵与对角矩阵相似的条件下页(Ax1,Ax2,???,Axn)引理：n阶方阵A～diag(l1,l2,???,ln）则l1,l2,???,ln是A的特征值充分性.设x1，x2，???，xn为A的n个线性无关的特征向量，它们所对应的特征值依次为l1，l2，???，ln，则有Axi=lixi(i=1,2,???,n).令P=(x1,x2,???,xn)，则=