矩阵相似对角化.ppt

*第5.2节矩阵相似对角化*主要内容一、矩阵相似的概念二、矩阵相似对角形三、小结四、思考与练习*一.相似矩阵的概念定义:设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得则称矩阵是矩阵的相似矩阵，对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。或称矩阵与矩阵相似，记作注：1矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：（2）对称性：若则（3）传递性：若则分析:,则存在可逆矩阵,使2.若与相似,则与相似(为正整数).若,则其中是任意常数.分析:从而和的特征值相同1注:满足(1),(2),(3)时A和B不一定相似．2和的特征多项式相同,即定理1:阶方阵相似,则有3推论：若矩阵与对角阵相似，则是的个特征值。得到方程例1:设矩阵与相似,解:利用求得到再利用利用对角矩阵计算矩阵的方幂*的多项式则若k个010204为对角矩阵,则对于对角矩阵,有特别地,若可逆矩阵,使二.矩阵相似对角形*对阶方阵，如果可以找到可逆矩阵，使得为对角阵，就称为把方阵对角化。定义:定理2：阶矩阵可对角化（与对角阵相似）有个线性无关的特征向量。(逆命题不成立)推论1:若阶方阵有个互不相同的特征值,则可对角化。（与对角阵相似）推论2:阶方阵相似于对角阵的充要条件是的01每一个02重特征值对应个线性无关的特征向量．03说明：如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性04无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化．05例1:判断下列实矩阵能否化为对角阵？解:得得基础解系当时，齐次线性方程组为当时，齐次线性方程组为得基础解系线性无关即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。*得基础解系所以不能化为对角矩阵.当时，齐次线性方程组为三．小结*１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：(1)与相似，则(2)若与相似，且可逆，则也可逆，且与相似．(3)与相似，则与相似.为常数．(4)与相似，而是一多项式，则与相似．01040203相似变换与相似变换矩阵相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．四．思考与练习*问能否对角化？例2：设解：若能对角化，求出可逆矩阵使得为对角阵。得基础解系当时，齐次线性方程组为当时，齐次线性方程组为得基础解系线性无关，可以对角化。令则有注意：若令即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．则有例3：已知方阵的特征值是*把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵相应的特征向量是求矩阵*解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。因为