2024-2025学年上海高桥中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.12）.docx

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高桥中学2024学年第一学期高三年级数学月考

2024.11

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．集合且的真子集的个数是________．

2．函数在上的平均变化率为________．

3．已知，，如果，那么实数的值为________．

4．已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为________．

5．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为________．

6．展开式中的系数为________．

7，已知平面向量，满足，则________．

8．已知角，均为锐角，，，则________．

9．已知函数，则________．

10．某校需要选拔4名同学参与该校95周年校庆活动的引导工作，现在有3位高一同学、2位高二同学和1位高三同学报名参加，则每个年级都有同学被选中的概率为________．

11．已知函数，，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围为________．

12．已知，，…，是1，2，…，（，）满足下列性质的一个排列，性质：排列，，…，中有且仅有一个，满足性质的数列，，…，一的个数________．

二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）

13．，中至少有一个不为零的充要条件是（）．

A． B． C． D．

14．在复平面内，复数对应的点位于（）．

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限

15．在中，已知，，点在线段上，且满足，当取最小值时，的外接圆面积为（）．

A． B． C． D．

16．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线，是曲线上的一个动点．则下列结论正确的个数是（）．

①曲线关于原点对称；

②曲线上满足的有且只有一个；

③动点到定点距离之和的最小值为；

④若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三、解答题

17．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

18．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

如图，长方体中，，，点为的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值．

19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．

（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；

（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值.

20．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）

给定椭圆，将圆心在坐标原点，半径为的圆称为椭圆的“伴随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是，．

（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆的方程与离心率；

（2）在（1）的条件下，过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；

（3）已知，，椭圆的“伴随圆”上的点到过两点，的直线的最短距离为，是否存在实数，，使得为．若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．

21．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）

已知函数，直线是函数在处的切线．

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）求证：直线不经过原点；

（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．

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参考答案

一、填空题

1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；

11.已知函数，，若函数有6个不同的零点，则实数的取值范围为____