湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案).docxVIP

湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．若,则()

A. B. C. D.

2．已知集合,,则()

A. B. C. D.

3．已知向量,,且,则实数()

A. B. C.5 D.10

4．已知,直线,,若,则()

A. B. C. D.

5．设为等差数列的前n项和,若,则()

A.10 B.15 C.21 D.38

6．已知圆与,动圆M与圆内切,且与圆外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()

A. B. C. D.

7．如图,在长方体中,,,M为棱的中点,P是线段上的动点,则下列式子的值为定值的是()

A. B. C. D.

8．已知过点可以作曲线的两条切线,则实数a的取值范围是()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示,则()

A.该公司2020—2024年快递业务量逐年上升

B.该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件

C.该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9%

D.该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58%

10．记等比数列的公比为q,前n项积为,已知,,,则()

A. B.

C.的最大值为 D.

11．已知函数及其导函数的定义域均是,是的唯一零点,且,则()

A. B.

C. D.

三、填空题

12．若,则________.

13．记数列的前n项和为,且满足,则________.

14．已知,分别为双曲线的左、右焦点,O为坐标原点,以点为圆心且与C的渐近线相切的圆与C在第一象限交于点A,B为的中点,若,则C的渐近线的斜率为________.

四、解答题

15．已知函数的最小正周期为,且的图象关于点对称.

（1）求的解析式;

（2）若,且,求的值.

16．记数列的前n项和为,已知.

（1）证明:是等差数列;

（2）若,证明:.

17．如图,在四棱锥中,是边长为2的等边三角形,,,.

（1）求证:平面;

（2）若,且,求平面与平面夹角的余弦值.

18．已知椭圆的左、右焦点分别为,,抛物线的焦点与重合,点G是C与E在第一象限的交点,且.

（1）求E的方程.

（2）设过点的直线l与E交于点M,N,交C于点A,B,且A,B,M,N互不重合.

（ⅰ）若l的倾斜角为,求的值;

（ⅱ）若P为C的准线上一点,设PA,PB,PF2的斜率分别为,,,证明:为和的等差中项.

19．已知函数,.

（1）若,求曲线在点处的切线方程;

（2）若对任意,不等式恒成立,求a的值;

（3）若实数m,n满足,证明:.

参考答案

1．答案：A

解析：根据题意,,

则.

故选:A

2．答案：C

解析：,

故,

故.

故选:C

3．答案：C

解析：由已知可得:,

因为,所以有,解之得:.

故选:C.

4．答案：B

解析：由直线与垂直,

得,即,解得,

而,所以.

故选:B

5．答案：D

解析：因为,所以,

则,即,所以,则,

因此.

故选:D

6．答案：B

解析：圆的圆心,半径,

圆的圆心,半径,设动圆的半径为r,

由动圆M与圆内切,且与圆外切,得,

则,因此点M的轨迹为以,为焦点,长轴长的椭圆,

而焦距,即,,则短半轴长,

所以动圆圆心M的轨迹方程为.

故选:B.

7．答案：D

解析：由题意得,,,,

,

.

A.如图,过点P作于点N,

对于A,由向量数量积的几何意义得,

由于点P是动点,所以不是定值,所以不是定值,故选项A错误;

对于B,,

由于点P是动点,所以不是定值,所以不是定值,故选项B错误;

对于C,,由于不是定值,故选项C错误;

对于D,由于向量在向量上的投影向量为,所以为定值.

故选:D.

8．答案：B

解析：由得,

设过点的直线与曲线切于点,

则切线斜率为,

所以切线方程为

因为切线过点,

所以,整理得,

因为过点的切线有两条,

所以方程有两不同实根,

因此,解得或,

即实数a的取值范围是.

故选:B

9．答案：ABD

解析：对A:由图可知:2020—2024年快递业务量逐年上升,故A正确;

对B:2020—2024年快递业务量的极差为:（亿件）,故B正确;

对C:因为增长率从小到大排序,即2.1%,19.4%,25.3%,29.9%,31.2%,

则中位数为25.3%,故C错误;

对D:由,故D正确.

故选:ABD

10．答案：BD

解析：因为,所以,一个大于1,一个小于1,

因为,若公比,则,都大于等于1,矛盾,所以,A不正确;

因为,所以,即,

所以数列是正项递减数列,可得,所以的最大值