2025年三维向量的坐标表示及其基本运算.pdfVIP

博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》

三维向量的坐标表示及其基本运算

向量在数学中扮演着重要的角色，它不仅是几何学、物理学、

工程学等许多学科的基础，还在计算机图形学和计算机游戏等领

域得到了广泛应用。本文将介绍三维向量的坐标表示及其基本运

算，以期能够帮助读者更好地理解和应用向量。

一、三维向量的坐标表示

在三维空间中，一个向量可以用三个实数表示。我们通常用一

个有序三元组(x,y,z)来表示一个三维向量，其中x、y、z分别代表

向量在三个坐标轴上的分量。例如，向量(2,1,3)表示从原点出发，

先向x轴正方向移动2个单位长度，再向y轴正方向移动1个单

位长度，最后向z轴正方向移动3个单位长度的向量。

当然，我们也可以用列向量的形式表示三维向量。例如，向量

(2,1,3)可以表示为以下列向量形式：

这种表示方法在计算机图形学和线性代数中得到了广泛应用。

博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》

二、三维向量的基本运算

1.向量的加法

向量的加法是向量的基本运算之一，它描述的是两个向量相加

的结果。对于两个三维向量u=(u1,u2,u3)和v=(v1,v2,v3)，它们的

和定义为：

u+v=(u1+v1,u2+v2,u3+v3)

例如，向量(1,2,3)和向量(4,5,6)的和为：

(1,2,3)+(4,5,6)=(5,7,9)

向量的加法有如下几何意义：将一个向量平移，平移向量的大

小和方向为另一个向量。

2.向量的数乘

非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

向量的数乘是指将一个向量的每个分量都乘以一个实数。对于

三维向量u=(u1,u2,u3)和实数k，它们的积定义为：

ku=(ku1,ku2,ku3)

例如，向量(1,2,3)和实数2的积为：

2(1,2,3)=(2,4,6)

向量的数乘可以改变向量的长度和方向。当k0时，乘积向量

与原向量的方向相同；当k0时，乘积向量与原向量的方向相反。

3.向量的减法

向量的减法是向量的基本运算之一，它描述的是两个向量相减

的结果。对于三维向量u=(u1,u2,u3)和v=(v1,v2,v3)，它们的差定

义为：

u-v=(u1-v1,u2-v2,u3-v3)

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。——李白

例如，向量(1,2,3)和向量(4,5,6)的差为：

(1,2,3)-(4,5,6)=(-3,-3,-3)

向量的减法有如下几何意义：在一个向量平移的基础上，平移

向量的大小和方向为另一个向量的相反数。

4.向量的点积

向量的点积是向量的基本运算之一，它描述的是两个向量的夹

角。对于三维向量u=(u1,u2,u3)和v=(v1,v2,v3)，它们的点积定义

为：

u·v=u1v1+u2v2+u3v3

例如，向量(1,2,3)和向量(4,5,6)的点积为：

(1,2,3)·

以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。——《旧唐书·魏征列传》

向量的点积有如下几何意义：两个向量的点积等于它们的长度

乘以夹角的余弦值。当两个向量的夹角为零度时，它们的点积达

到最大值；当两个向量的夹角为90度时，它们