2024-2025学年吉林省长春市高三上学期第二次摸底考试数学检测试卷.docx

2024-2025学年吉林省长春市高三上学期第二次摸底考试数学

检测试卷

一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

1.已知复数，则的虚部为（）

A. B. C. D.

2.已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（）

A. B. C. D.

3.在平直铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（）

A. B. C. D.

4.设公差的等差数列中，成等比数列，则（）

A. B. C. D.

5.已知向量在向量方向上的投影向量的模，向量在向量方向上的投影向量的模为，且，则向量与向量的夹角为（）

A. B. C. D.

6.若，则的大小关系是（）

A. B.

C. D.

7.已知点为扇形的弧上任意一点，且，若（），则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

8.对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合，已知，.用表示有限集合M所含元素的个数，则的最小值为（）

A.5 B.6 C.7 D.8

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知方程的两个复数根分别为，则（）

A. B.

C D.

10.已知，，是函数的三个零点，则（）

A. B.

C. D.

11.如图，在四边形中，，，，，，则下列结果正确是（）

A. B.

C. D.的面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在边长为2的正三角形中，D为BC的中点，，则______________.

13.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______________.

14.若函数满足在定义域内某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为________．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）

16.在中，角，的对边分别为，的面积为，．

（1）求角．

（2）若的面积为，，为边的中点，求的长．

17.如图所示，直角梯形中，四边形为矩形，平面⊥平面.

（1）求证:平面;

（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由

18.某项团体比赛分为两轮：第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛．若挑战成功，参加第二轮攻擂赛与上任擂主争夺比赛胜利．现有甲队参加比赛，队中共3名事先排好顺序的队员参加挑战．

（1）第一轮与对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的期望；

（2）甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知，甲队三名队员每场比赛的胜率分别为：，，，若要求甲队获胜的概率大于，问是否满足？请说明理由．

19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆C交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点

（1）若的坐标为求椭圆C的方程；

（2）在（1）条件下，过点并垂直于轴的直线交C于点，椭圆上不同的两点满足成等差数列.求弦的中垂线在轴上的截距的取值范围；

（3）若，求实数的取值范围.