【赢在高考·黄金8卷】02（解析版）.docx

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年新高考新试卷结构高考数学模拟卷

黄金卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据指对互换运算求出集合，解绝对值不等式求出集合，结合集合的交集运算即可.

【详解】由题意，

，所以.

故选：C.

2．在中，若，则的面积的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，即可得答案.

【详解】设分别为的中点，连接，

则，则∽，故,

则，故

又，则，

故，

当时，四边形面积最大，最大值为，

故的面积的最大值为，

故选：D

3．已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先得函数在区间上的两个零点只能是，由此即可进一步列出不等式组求解.

【详解】由题意

，

当时，，

若函数在区间有且仅有2个零点，

则这两个零点只能是，

则当时，，解得.

故选：A.

4．设等差数列的前项和为，已知：，，则下列结论正确的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由题设，构造函数，分析的奇偶性和单调性，结合等差数列的性质及前n项和公式，求解即可.

【详解】设函数，易知的定义域为，

且，

所以是上的奇函数，由单调性的性质知在上单调递增，

由题意：，，两式相加得：，

因为是上的奇函数，所以，

又在上单调递增，所以，即，

等差数列的前项和为，则，

因为，，所以，

又在上单调递增，所以，所以.

故选：D.

5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，确定所得多面体的外接球球心位置，再求出其外接球半径即可得解.

【详解】如图，点是正四面体所在棱的中点，连接，

显然，则四边形是平行四边形，

又，且，于是，

因此是正方形，则，同理，

从而得点在以点为球心，为半径的同一球面上，

即这个多面体的外接球球心为，半径，

所以这个多面体的外接球的表面积为.

故选：A

6．抛物线E：的焦点为F，P为准线上任意一点，过点P作E的切线，切点为A，则的最小值为（?????）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】利用抛物线对称性设不妨设切点为A在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得，得，最后利用基本不等式求最值.

【详解】由，根据抛物线的对称性，不妨设切点为A在第一象限，所以A在上，

设，，，

由，得，切线斜率为，

故切线方程为，

又在直线，得，

得，所以，

所以，，

，

当且仅当，即时取等号，的最小值为.

故选：A

7．若，则下列说法正确的是（????）

A．

B．为等差数列

C．设，则数列为等差数列

D．设，则数列的前项的和为

【答案】D

【分析】由分类加法计数原理与展开式中得到每一项的方法，可求解各项系数.选项A，求解可得；选项B，用表示，得到递推关系，再运算化简可得；选项C，求解，可得，特值法可知不满足等差数列；选项D，分组求和，分别利用等比数列求和公式与常数列求和即可.

【详解】对于A：为项的系数，而得到展开式中项，需要每一个括号里都取x项再相乘，

则.故A错误；

对于B：由上面推导可得：，

.

所以，

所以不是等差数列.故B错误；

对于C：，

所以，所以，

所以，

所以，即数列不是等差数列.故C错误；

对于D：，所以数列的前n项的和

.故D正确.

故选：D

8．已知、为双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则此双曲线离心率的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，设的内切圆为圆，推导出，可得出，即可得、所满足的等式，即可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，

设的内切圆为圆，如下图所示：

??

由切线长定理可得，，，

则，

即，

所以，，则，

由圆的几何性质可知，轴，可知，，同理可知，，

所以，、、三点共线，且轴，

因为，，，所以，，

所以，，同理可得，，

所以，，

所以，，所以，，

即，即，即，

因为，所以，，可得，故该双曲线的离心率为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，