2025年新高考艺术生数学突破讲义专题08幂函数与二次函数.docxVIP

专题08幂函数与二次函数

【考点预测】

1、幂函数的定义

一般地，（为有理数）的函数，即以\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank底数为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank自变量，幂为\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank因变量，\t/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank指数为常数的函数称为幂函数．

2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数．

（3）幂函数的图象和性质

3、常见的幂函数图像及性质：

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在上单调递增

在上单调递减，在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

4、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：；

（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程．

（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标．

5、二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为．

（1）单调性与最值

=1\*GB3①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；=2\*GB3②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；．

（2）与轴相交的弦长

当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，．

6、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处．

对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则．

【方法技巧与总结】

1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：

①当时，其图象可类似画出；

②当时，其图象可类似画出；

③当时，其图象可类似画出．

2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

3、一元二次方程的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．

设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示．

根的分布

图像

限定条件

在区间内

没有实根

在区间内

有且只有一个实根

在区间内

有两个不等实根

4、有关二次函数的问题，关键是利用图像．

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：=1\*GB3①轴处在区间的左侧；=2\*GB3②轴处在区间的右侧；=3\*GB3③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论．

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负．

【典型例题】

例1．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，若且，则它的图象可能是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由且，得，

所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C；

又，所以排除B；只有D符合.

故选：D.

例2．（2024·高三·河南·开学考试）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

因为，所以，

故，

即，

当且仅当时，等号成立，

故，实数的最小值为.

故选：D

例3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（????）

A． B．3 C． D．1

【答案】C

【解析】函数的单调递增区间是，

因此，即，解得，

所以实数a的值是.

故选：C

例4．（2024·高三·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则，，有最小值.

当时，二次函数开口向下，无最小值；

当时，无最小值；

当时，若在上有最小值，则对称轴，解得.

故选：A

例5．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（????）

A． B． C．4 D．

【答案】C

【解析】设，

因为，令，得，故，所以，

令，得，故，即，

又，即，故，，所以，

由，得，设，，即，，

则

，

所以的最大值与最小值之和为，

故选：C

例6．（2024·高三·全国·期末