2025年新高考艺术生数学突破讲义专题22平面向量.docxVIP

专题22平面向量

【考点预测】

一、向量的基本概念

1、向量概念

既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.

注：谈到向量必须说明其方向与大小.

向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.

2、零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量

零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.

单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.

相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.

平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.

规定零向量与任何向量平行（共线），即.

注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不可以重合；③，，不一定有，因为可能为.

二、向量的线性运算

1、向量的加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.

向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量=.

2、向量的减法

（1）相反向量.

与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作.

（2）向量的减法.

向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即=.

向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，，则向量.

3、向量的数乘

（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度和方向规定如下：

①

②当λ0时，的方向与的方向相同；当λ0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.

（2）向量数乘运算的运算律.

设、为任意向量，、为任意实数，则；；.

三、平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.

2、平面向量基本定理

如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.

3、三点共线定理

平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为平面内一点.

四、平面向量的坐标表示及坐标运算

（1）平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对（）叫做向量的坐标，记作=（）.

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量（）向量点（）.

（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若=（），为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.

（4）设A，B，则=， 即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.

五、向量的平行

设，.的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也经常使用：当时，可表示为；

当时，可表示为，即对应坐标成比例.

六、平面向量的数量积

(1)已知两个非零向量和，作＝，＝，叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.

(2)叫作与的数量积，记作，即.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.

两个非零向量与平行的充要条件是.

七、平面向量数量积的几何意义

数量积等于的长度||与在方向上的射影||cosθ的乘积．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).

八、平面向量数量积满足的运算律

（1）（交换律）；

（2）为实数）；

（3）（分配律）。

数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分.

九、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量由此得到

（1）若；

（2）设两点间距离

（3）设的夹角，则

【典型例题】

例1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，所以，

从而与向量同方向的单位向量为.

故选：A.

例2．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；

对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；

对于C：若，则方向相同，C正确；

对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.

故选：C.

例3．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆