高中数学《必修第二册》课后习题7.1.1　数系的扩充和复数的概念.docx

第七章复数

7.1复数的概念

7.1.1数系的扩充和复数的概念

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2021陕西阎良期末)设复数z=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,则实数a=()

A.-3 B.-2 C.2 D.3

答案A

解析∵复数z=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3.故选A.

2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为()

A.-1 B.2

C.1 D.-1或2

答案D

解析因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.

3.复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则实数m的值是()

A.3 B.2

C.2或3 D.0或2或3

答案B

解析因为复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,所以m2-5m+6=0,m2-3m≠0,解得m=2.

4.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是()

A.若a≠0,则ai是纯虚数

B.虚部为-2的虚数有无数个

C.实数集是复数集的真子集

D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等

答案BCD

解析对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-2的虚数可以表示为m-2i(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,判断C正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.

5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析“ab=0”则a=0或b=0,“复数a-bi为纯虚数”则a=0且b≠0,那么“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.

6.若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为.?

答案-12,-

解析依题意得2x+1=0

7.若复数z=m+(m2-1)i是负实数,则实数m的值为.?

答案-1

解析依题意可知m2-1=0且m0,因此m=-1.

8.已知关于实数x,y的方程组:

(

有实数解,求实数a,b.

解由①式,根据复数相等的充要条件有2

解得x=52,

将(*)代入②式,得5+4a-(6+b)i=9-8i,且a,b∈R,所以有5+4a=9,6+b=8

关键能力提升练

9.以3i-2的虚部为实部,以3i2+2i的实部为虚部的复数是()

A.3-3i B.3+i

C.-2+2i D.

答案A

解析3i-2的虚部为3,3i2+2i=-3+2i的实部为-3,故选A.

10.(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是()

A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1

B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数

C.若z12+z22=0,则

D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数

答案BD

解析取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误;

?a∈R,a2+10恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;

取z1=i,z2=1,则z12+z22=0,但z1=z2=0

当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.

11.(多选题)(2021江苏相城校级期中)已知复数z=3cosα+icos2α(0α2π)的实部与虚部之和为-2,则α的取值可能为()

A.π3 B.2π3 C.π

答案BC

解析∵复数z=3cosα+icos2α(0α2π)的实部与虚部之和为-2,

∴3cosα+cos2α=-2,

即2cos2α+3cosα+1=0,

解得cosα=-12或cosα=-1

∵0α2π,

∴α=2π3或

故选BC.

12.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=,n=.?

答案2±2

解析由复数相等的充要条件有n2-

13.下列说法:

①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;③两个虚数不能比较大小.

其中说法正确的序号是.?

答案③

解析当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则x2-1=0,x2+3x+2≠0,即

14.已知复数z=3x-1-x+(x2-4x+3)i0,求实数

解∵z0,∴z∈R.∴x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.

∵z0,∴3x-1-x0.