湖南省长郡中学2024届高三上学期月考(三)数学试题（解析版）.docx

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大联考长郡中学2024届高三月考试卷（三）

数学

命题人：彭泽华审题人：廖喜全

得分_____________

本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合A,B，根据交集计算即可.

【详解】,,

,

故选：A

2.若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【详解】由复数的运算法则有：，

则实部和虚部之积.

本题选择B选项.

3.函数的最大值与最小值之差为（）

A. B.0 C.2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由，可得，然后利用正弦函数的性质可求得函数的最值.

【详解】因为，所以，所以，

由的图像与性质知，

当时，有最小值为，

当时，有最大值为，所以最大值与最小值之差为，

故选：D．

4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数型复合函数的单调性得到不等式组，解得即可.

【详解】由于在上单调递增，

而在上单调递增，函数在上单调递增，

所以，所以，

故的取值范围是.

故选：A．

5.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

6.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（）

A. B.1 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】将该多面体放在正方体中，利用空间向量的坐标运算，求出平面和平面的法向量，即可求平面和平面夹角的余弦值，进而可求解.

【详解】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图，

平面和平面为有公共顶点的两个正三角形所在平面，

建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则

设平面的法向量为

所以，令，所以

设平面的法向量为

所以，令，所以

设平面平面和平面的夹角为，

则，

因为平面和平面的夹角为锐角，所以，

所以，

故选：D

7.设正实数、、满足，则的最大值为（）

A B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值.

【详解】因为正实数、、满足，则，

则，当且仅当时取等号.

故的最大值为.

故选：C.

8.已知函数，若存在唯一的整数，使，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】原不等式等价于有唯一的整数解，利用导数刻画出的图象，结合的图象过定点及动态变化可求的取值范围.

【详解】的定义域为，由有唯一整数解，得有唯一整数解，

令，定义域为，，定义域为，

则，令，解得，

则在上单调递增，在上单调递减，∴在处取极大值也是最大值，

作出的大致图象如图所示，

易知的图象是恒过点的直线，

若，则显然不符合题意，

若，则，即，解得，

故选：A.

【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立或有解问题，我们可以把它们转化为定曲线与动直线的位置关系问题，前者可以通过导数刻画其图象.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列说法正确的是（）

A.若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有项

B.对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数的值是

C.已知随机变量服从正态分布，若，则

D已知，若，则

【答案】CD

【解析】

【分析】令可构造方程求得，知展开式有项，知A错误；根据样本点未必在回归直线上可知B错误；由，结合正态分布曲线对称性可知C正确；根据二项分布方差公式可求得，由方差性质可得，知D正确.

【详解】对于A，令，则展开式所有项系数和为，解得：，则展开式共有项，A错误；

对于B，样本点不一定在回归直线上，不一定是，B错误；

对于C，，，

，，C正确；

对于D，，，

，，D正确.

故选：CD.

10.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫