齐次线性方程组解的性质.pptVIP

四、小结１．齐次线性方程组基础解系的求法（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．故为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR==()()nBRAR=２．线性方程组解的情况思考题思考题解答则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程的解，则称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程的解．证明（1）若为的解，则２．齐次线性方程组解的性质也是的解.（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．证毕.二、基础解系及其求法基础解系的定义设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．２．线性方程组基础解系的求法于是可化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.所以是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为定理1例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.所以是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为定理1例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例3证三、非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质证明证毕．证明其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为线性方程组有解３．与方程组有解等价的命题02特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．（2）利用初等变换线性方程组的解法特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．（1）应用克莱姆法则01例4求解方程组解解例5求下述方程组的解所以方程组有无穷多解.且原方程组