湖南省麓山国际实验学校2022-2023学年高三下学期3月自主检测数学试题（解析版）.docx

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2022-2023-2麓山国际高三年级3月份自主检测

数学试卷

一、单选题(每小题5分，共40分)

1.已知集合，，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】先分别计算化简两个集合，再进行交集运算.

【详解】,,

则,

故选：B.

2.已知直线，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用必要不充分条件判断.

【详解】由，所以，

即，解得或，

所以充分性不成立，

当时，，

所以，故必要性成立，

所以“”是“”必要不充分条件，

故选：B.

3.若复数是方程的一个根，则的虚部为（）

A.2B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】设复数其中为虚数单位，代入方程求出复数，然后再求解.

【详解】设复数其中为虚数单位，

又复数是方程的一个根

所以，即

所以

所以，故，所以的虚部为

故选：A

4.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，可知底面圆的半径，再求的底面圆的面积和圆锥的侧面积，即可求得该圆锥的表面积.

【详解】由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，

则圆锥底面圆的半径为，底面圆的面积为，

圆锥的表面积为.

故选：C.

5.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前中位数为,所以错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为，

讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.

故选:B.

6.已知，则（）

A.B.2C.4D.12

【答案】C

【解析】

【分析】令，直接根据二项式定理求解即可.

【详解】令，则，

故，

中得系数为，中得系数为，

所以，

故选：C.

7.已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，，即该方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.

【详解】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，

又，则公切线斜率，则，所以，

则公切线方程为，即，

代入得：，则，整理得，

若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，

设，则，令得，

当时，，单调递增，时，，单调递减，

又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：

所以，解得，故实数a的取值范围为.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为，且，，且，可得，即有，得公切线方程为，代入切点将双变量方程转化为单变量方程，根据含参方程进行“参变分离”得，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围.

8.已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（）

A.函数的周期为2B.函数关于直线对称

C.函数关于点中心对称D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据为偶函数推导出，根据为奇函数，得到，得到函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；

由由及推导出，故周期为4，A错误；

根据函数的周期性求出，D错误.

【详解】∵为偶函数，

∴，

∴，

故

即，

∴函数的图象关于直线对称.

∵为奇函数，

∴，

∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；

由及知，，

∴，

∴，即，

∴，故

∴函数的周期为4，A错误，

，故D错误.

故选：C.

二、多选题(每小题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分)

9.计算下列各式，结果为的是（）

A.B.

C.D.

【答案】AD

【解析】

【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换