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中考数学专题复习之五：数形结合思想

【中考题特点】：

数形结合思想是一种重要的数学思想方法。近几年各地中考试题中都体现了这种数学思想方法。在数学问题中，数量关系与图形位置关系这两者之间有着紧密却又较隐含的相互关系。解题时，往往需要揭示它们之间的内在联系，通过图形，探究数量关系，再由数

量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。

【范例讲析】：

例1：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象，化简|b-a-c|-(3b-2c)2+|a-b|

CE例2：如图，△ABC中，∠C=90°,BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，半圆O是△BDE的外接半圆。

C

E

⑴求证：AC是半⊙O的切线；

B⑵若AD=6，AE=62，求DE的长。ADO

B

m23

例3：已知：抛物线y=x2－mx+与抛物线y=x2+mx－m2

24

在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，其中一条与x轴交于A、B两点。

⑴试判定哪条抛物线经过A、B两点，并说明理由；

⑵若A、B两点到原点的距离AO、OB满足，

求经过A、B两点的这条抛物线的解析式。

BPGOHA例4已知：如图6，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧上有一动点P，PH⊥OA，垂足为H，Δ

B

P

G

OHA

(1)当P在弧上运动时，线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；

(2)设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

(3)如果ΔPGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。

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例5：把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°α＜90°=,四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②)。(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存

5

在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若16

存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由.【练习】：

A

G(O)

B

C

E

A

①

G(O)

K

EC

E

HB

H

②F

②

F

1

1．已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）

2

和点C，顶点为P。⑴求这个二次函数的解析式；⑵设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标。

AEPFHDCOB2．如图，锐角△ABC内接于⊙O，高AD、BE交于

A

EP

FH

DC

O

B

ABP，直线BE交⊙O于另一点F。若是方程12

AB

x2-1x+1(sin2C-3sinC+1)=0的一个实根。

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⑴求∠C的度数与AB的长；⑵BH=x，BP=y，求y与x间的函数

3关系式；⑶当y=3

3

时，试判断△ABC的形状，并说明理由。

3．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），

你在（1）