北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）.docx

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，那么（????）

A． B．

C． D．

2．下列命题中，真命题是（????）

A． B．

C． D．

3．如果，那么下列不等式一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（????）

A． B．

C． D．

5．为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛．根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（????）

A．

B．

C．

D．95

6．已知，则（????）

A． B．

C． D．

7．如图，在中，点满足，.若，则（????）

A． B． C． D．

8．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

9．已知，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（????）

A．2 B．3 C．4 D．6

二、填空题

11．函数的定义域是.

12．向量满足，其中，那么，.

13．若，则.

14．已知函数.若图像恒在轴下方，则的取值范围是；设的值域为，若，则的取值范围是.

15．已知，函数.

①当时，在上单调递减；

②当时，在上单调递增；

③若在定义域内的最小值为0，则；

④若在上的最大值是5，则实数的取值范围为.

以上结论中，所有正确结论的序号是.

三、解答题

16．已知函数.

(1)求关于的不等式的解集：

(2)设图像与直线的交点坐标为，求的值；

(3)用单调性定义证明：在上单调递增.

17．国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：

空气质量指数

300以上

空气质量等级

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染

由全国重点城市环境监测网获得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如下：

(1)从甲城市的数据中任取2个，求其中恰有1个数据对应空气质量等级为良的概率；

(2)从甲城市和乙城市的数据中分别取1个，求这2个数据对应空气质量等级相同的概率；

(3)试根据上面的数据，判断甲，乙两市空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）

18．设函数

（1）若，求实数a的值;

（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论;

（3）若对于恒成立，求实数m的最小值.

19．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到0的概率为，收到1的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.在三次传输中，收到的信号需要译码.译码规则如下：三次传输时，收到的信号中若出现连续两个0，则译码为0，其余情况译码为1.例如，若依次收到，则译码为0.

(1)若采用单次传输，依次发送“”，求收到信号仍为“”的概率；

(2)若采用单次传输，依次发送“”，求收到信号数字之和为2的概率；

(3)若采用三次传输，求发送“0”后译码仍为“0”的概率.

20．已知函数.

(1)当时，求的取值范围；

(2)若函数在上的最大值为6，求实数的值；

(3)通过软件作图发现，当时，.试利用上述结论证明：.

21．设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.

(1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；

(2)若为集合的“相关数”，证明：；

(3)给定正整数.求集合的“相关数”的最小值.

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

《北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

C

B

C

A

A

B

D

C

1．D

【分析】解不等式可化简集合B，然后由交集定义可得答案.

【详解】，则，

故.

故选：D

2．C

【分析】根据指数函数的性质