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第三章球函数

§3－1球坐标中拉普拉斯方程的别离变量解法

一、球坐标中的拉普拉斯算子

球坐标和直角坐标的关系是

可利用这组关系式直接将直角坐标系中的拉普拉斯算子化算到球坐标系中，但是计算繁琐。;通常可以利用

来推导拉普斯算子在球坐标中的表达式，结果为：;二、别离变量法

1.别离变量法

令球坐标下的拉普拉斯算子等于零，然后两边同乘以ρ2，得球坐标中的拉普拉斯方程

别离变量法就是将方程的解分解为依赖于不同自变量的函数之积

令代入上式，可得

;两边同除以然后将后两项移到等号右边，得

上式中，等号左边只与自变量ρ有关，右边只与θ和λ有关，既然等号两边依赖于不同的自变量而且又必须相等，那么等号两边必然等于同一常数α，所以可以组成以下两个方程：;

进一步对第二个方程作变量别离，令

代入方程得

;

上式两边同乘以sin2θ，然后将第二项移到等号右边，得

该式中，等号左边只与θ有关，等号右边只与λ有关。;所以，等号两端必等于同一常数β，稍作整理得;至此，我们将球坐标中的拉普拉斯方程分解成了三个常微分方程，显然，这三个常微分方程要比拉普拉斯方程这个偏微分方程求解简单，这种用别离变量求解偏微分方程的方法叫付立叶方法。

2.连带勒让德方程

为方便讨论，我们再将

做些改化。作变量替换那么;

代入

两边同除以，得

这个方程称为连带勒让得方程。

;3.勒让得方程

当β＝0时上式简化为

这个方程称为勒让得方程。;三、特征值问题的概念

在别离变量时，我们引入了两个常数α和β，从数学上看，这两个常数是任意的，但考虑到问题的物理背景时，它们就不能任意取值了。

首先来研究别离变量的第三式，并确定β的值。引力位是单值函数，设k=0、1、2、…，那么对相同的ρ和θ，对所有的k来说对应于空间相同的点，引力位该取相同的值，这就要求依赖于λ的变量L(λ)满足，

即L(λ)是一个周期为2kπ的周期函数，所以叫周期条件。;在解算时，必须合理地选择β的值，使方程的解L(λ)符合这个条件。

容易地验证，只有时，才有符合上述周期条件的两个线性无关的非零解

上式中的k加负号仍然是原式的解，但它们与原式线性相关，不是新解，所以我们假设k不小于零。

这种求解一个含参数的微分方程在一定边界条件下的非零解及相应参数值的问题叫特征值问题，方程的非零解叫特征函数，相应的参数值叫特征值。

对上述问题来说，特征函数是coskλ、sinkλ，

特征值是k2

;将代入别离变量的连带勒让德方程和勒让德方程，得

这是连带勒让得方程和勒让得方程，它们包含一个参数。由定义知，x的取值范围是[-1，1]，因为引力位在它满足拉普拉斯方程的范围内总是有界的，只有质点引力位在质点位置上为无穷大，所以B(x)必须在[-1，l]中有界，这就给的取植范围加了一个条件，叫有界条件。;§3－2勒让德函数

一、勒让德函数

1.勒让德函数级数解

勒让得函数是勒让得方程在［－1，1］中有界条件下的特征函数。勒让得方程还可以写成

令其级数解为

;可以解出计算系数的递推公式

勒让得方程是一个二阶奇次常微分方程，它有两个线性无关的解。假设取C0≠0且C1=0，那么C2i＋1=0；假设取C0=0且C1≠0，那么C2i=0,那么这两个线性无关的解可以写成;说明：

系数C2i和C2i＋1由C0和C1通过上式计算。显然，只包含x的偶次方项，只包含x的奇次方项。

对于两个级数解的收敛性来说，假设级数收敛于有界的函数，那么表示解有界，否那么，解无界。

可以证明：

当x在〔－1，1〕区间内两个级数解是有界的。

当x＝±1时是无界的。;

2.勒让德函数

需求的是勒让德方程在[－1，1]中的有界解，且已证明，该方程的两个幂级数解在〔－1，1〕中有界而在x=±1时均无界。为了解决这一矛盾，我们令α的值为n〔n＋1〕，其中n为大于等于零的整数，那么系数的递推公式

变为;显然，由这个递推公式可以得到，Cn+2=Cn+4=…＝0，所以，两个解、中的两个无穷级数中有一个变为多项式。

当n为偶数时，变为多项式，仍为无穷级数；

当n为奇数时，仍为无穷级数，变为多项式。

两个多项式都在［－1