高中函数四大性质及函数图像变换.docVIP

单调性

一，知识点

1.函数的单调性：

〔1〕增函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

〔2〕减函数：一般地，设函数的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

〔3〕单调性〔单调区间〕如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.

二、疑难知识导析

1.对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，其本质是某个区间的割线斜率。函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.函数的单调性是对某个区间而言的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调．因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，写单调区间时，一般写成闭区间．但必须注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点．

2.假设f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，单调区间用逗号或区间联立。

三、函数的单调性常见公式应用

(1)设那么

上是增函数；

上是减函数.

设函数在某个区间内可导，如果，那么为增函数；如果，那么为减函数.

〔3〕在公共定义域内增+增=增减+减=减增-减=增减-增=减

如果f(x)为增函数，那么-f(x)，1/f(x)为减函数，为增函数

如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,那么复合函数是增函数；如果函数和在其对应的定义域上都是增函数,那么复合函数是增函数；如果函数和

在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,那么复合函数是减函数〔概括就是同增异减〕

奇偶性

一、知识点

〔1〕一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.

〔2〕一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.偶函数特有性质f(x)=f(-x)=f(/x/)

〔3〕如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.

二、疑难知识导析

对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.

三、奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数

四、常见结论

1、假设函数是偶函数，那么；假设函数是偶函数，那么.

假设函数是奇函数，那么f(x+a)=-f(-x-a);假设函数是奇函数，那么f(x+a)=-f(-x+a)

2、多项式函数的奇偶性

多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

3、函数根据奇偶性可分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)＝0，但f(x)＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．

4、奇函数y＝f(x)假设在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.

5、奇函数在整个定义域上单调性一致，偶函数在整个定义域上单调性相反

6、常见的奇偶函数

7、设f(x)是定义域内关于原点对称的任意一个函数，那么G(x)=f(x)+f(-x)为偶函数H(x)=f(x)-f(-x)为奇函数

周期性

1、周期函数定义域必须为R

2、几个函数方程的周期(约定a0)

〔1〕，那么的周期T=a；

〔2〕假设，

或，或,

或,那么的周期T=2a；

(3)，那么的周期T=3a；

(4)且，那么的周期T=4a；

(5)

,那么的周期T=5a；

f(x+a)f(x+b)=c那么f(x)的周期T=2|a-b|

，那么的周期