湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(一)数学试题（解析版）.docx

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大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（一）

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设，则中整数个数为（）

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】D

【解析】

【分析】求得集合，结合集合中的不等式，即可得到集合中元素的个数.

【详解】由集合，

可得集合中的元素包含整数有：，

以上整数满足集合中不等式的有，

所以中整数个数为.

故选：D.

2.已知母线长为5的圆锥的侧面积为，则这个圆锥的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由勾股定理可得圆锥的高，然后结合锥体的体积公式，即可得到结果.

【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，由已知，，则，从而，所以.

故选：B.

3.若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数在复平面内所对应的点位于.

A.第一象限. B.第二象限. C.第三象限 D.第四象限

【答案】B

【解析】

【详解】因为A，B是锐角△ABC的两个内角，所以

即0,因此点位于第二象限，选B.

4.已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量减法和向量相等的定义即可求得之间的关系，进而得到正确选项.

【详解】，

而在平行四边形ABCD中，，所以，

又，，，，

则，也即.

故选：B.

5.已知数列的前项和为，若，，则有（）

A.为等差数列 B.为等比数列

C.为等差数列 D.为等比数列

【答案】D

【解析】

【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据，得到即可判断CD选项.

【详解】由题意，数列的前项和满足，

当时，，两式相减，可得，

可得，即，又由，当时，，所以，

所以数列的通项公式为，故数列既不是等差数列也不是等比数列，所以AB错.

当时，，又由时，，适合上式，

所以数列的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，故D正确，C错.

故选：D.

6.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（）

A.4.1小时 B.4.2小时 C.4.3小时 D.4.4小时

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列不等式，然后利用对数运算公式解不等式即可.

【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则.

由，得，则.因为，则

，所以开车前至少要休息4.2小时.

故选：B.

7.已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，得到，得到为增函数，得到，即可求解.

详解】设，则，

故在定义域上是增函数，所以，

即，所以.

故选：D.

8.若正三棱锥满足，则其体积的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合三棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可.

【详解】设正三棱锥的底边长为，侧棱长为，

，

，

设该三棱锥的高为，

由正弦定理可知：，

所以，

又.

由

设，，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

在上存在唯一的极大值点，且在时取得最大值为.

故正三棱锥体积的最大值为，

故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间向量数量积的运算性质得到正三棱锥底面边长与侧棱长的关系.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是（）

A.若，且，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，作差法得到，结合，得到结论；B选项，可举出反例；CD选项，作差法比较大小.

【详解】对于A，，又，故，A正确；

对于B，不妨设，则，故B错误.

对于C，，

∵，∴，，，

∴，∴，所以C错误.

对于D，，

∵，∴，，∴，

∴，所以D正确.

故选：AD

10.设正方体中，，，的中点分别为，，，则（）

A. B.平面与正方体各面夹角相等

C.四点共面 D.四面体，体积相等

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用余弦定理可求得和，知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角向量求法可求得B正确；由异面直线定义可确定C错误；利用线面平行的判定可证得平面，由此可知D正确.

【详解】对于A，设正方体棱长为，

则，，，

，，

又，，，A正确；

对