四川省绵阳市高中2022级第二次诊断性考试数学答案.docxVIP

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高中2022级第二次诊断性考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．C

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9．BCD 10．BC 11．ABD

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．

12．3； 13．； 14．

四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解：（1）∵，

由正弦定理得：， 2分

又，则，

∴， 4分

∴，又B是三角形内角， 5分

∴； 6分

（2）∵，且，

∴， 8分

∴， 9分

∴， 11分

∴． 13分

16．解：（1）a=0时，，，且， 2分

∴， 4分

故切线方程为：y?(e+1)=e(x?1)，即ex?y+1=0； 6分

（2）∵，， 7分

由1ae，存在，使得，即，， 9分

当时，，单调递减； 10分

当时，，单调递增， 11分

故， 12分

令，， 13分

∴在上单调递减， 14分

易知，所以． 15分

17．解：（1）设数列的公差为d，

令，得，所以， 2分

令，得，所以， 4分

∵数列的公差大于0，

∴，，所以； 6分

（2）（i）k=1时，n=1，则； 7分

k=1时，， 8分

∴，； 9分

（ii）由题意可知：， 10分

=1\*GB3①当时，，则，∴； 11分

=2\*GB3②当时，，则，∴； 12分

=3\*GB3③当时，，则，∴， 13分

∴

， 14分

∴． 15分

18．解法一：（1）证明：如图1，设AC的中点为F，连接BF并延长交CD于点G，

易知△ABC为等边三角形，且BG⊥AC， 1分

在△ACD中，AC=AD=2，满足，

∴AD⊥AC，则G为CD中点， 2分

又点E为PD中点，G为CD中点，

∴EG//PC，又PC⊥AC，

∴AC⊥EG， 3分

而BG，EG均在平面BEG内，且BG∩EG=G，

∴AC⊥平面BEG，，

∴AC⊥BE； 5分

（2）因为AC⊥平面BEF，则AC⊥EF，AC⊥FG， 6分

因此∠EFG即为二面角E-AC-D的平面角，

∴，而， 7分

∴在△EFG中，，由余弦定理得， 8分

∴，则EG⊥FG， 9分

∴EG⊥平面ABCD，PC⊥平面ABCD，，，

由AD⊥AC，则△ACD的面积为2， 10分

∴三棱锥P-ACD的体积； 11分

（3）由PC//EG，则直线PC与平面ACE所成角即为直线EG与平面ACE所成角，

由（1）可知AC⊥平面BEG，，

∴平面BEG⊥平面ACE，因此∠FEG即为所求角， 12分

思路一：在△EFG中，，，由正弦定理：， 13分

∴， 14分

当，即如（2）中EG⊥平面ABCD时， 15分

， 16分

∴直线PC与平面ACE所成角的正弦值为． 17分

思路二：在△EFG中，，，

故点G在以F为圆心，1为半径的圆上， 12分

当EG与该圆相切时，即如（2）中EG⊥平面ABCD时，∠FEG最大， 14分

此时， 16分

∴直线PC与平面ACE所成角的正弦值为． 17分

解法二：（1）证明：易知△ABC为等边三角形在△ACD中，AC=AD=2，

满足，∴AD⊥AC， 1分

以A为坐标原点，建立上如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

设点P(x，y，z)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，B(1，，0)，E(，，)，

易知，， 2分

由PC⊥AC，则2(2?x)=0，则x=2， 3分

则 4分

∴，则AC⊥BE； 5分

（2）由（1）可知AC⊥平面BEG，，

∴平面BEG⊥平面ABCD， 6分

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，

设点E(1，m，n)（m2，n0），易知，，

设平面ACE的法向量为：n1=(x，y，z)，

∴，不妨令，则平面ACE的一个法向量为：n1=(0，?n，m)，

又平面ACD的一个法向量为n2=(0，0，1)， 7分

∴cosn1，n2=， 8分

∵，则，

解得：n=，则点E到平面ACD的距离为，

由E为PD的中点，则点P到平面ACD的距离为， 9分

在△ACD中，AC=AD=2，满足，

∴AD⊥AC，则△ACD的面积为2， 10分

∴三棱锥P-ACD的体积； 11分

（3）由PC//EG，则直线PC与平