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雅礼中学2023届高三月考试卷(七)
数学
时量:120分钟满分:150分
一?选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合运算法则计算.
【详解】因为,所以或,则.
故选:D.
2.已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件,结合复数的几何意义,以及复数的运算,即可求解.
【详解】解:复数与在复平面内对应点关于实轴对称,
,
故选:D.
3.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验,其中天和核心舱安排人,问天实验舱与梦天实验舱各安排人,则甲、乙两人安排在同一个舱内的穊率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算出安排人的方案总数,以及甲、乙两人安排在同一个舱内的方案种数,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验,共有种不同方案,
甲、乙两人安排在同一个舱内共有种不同的方案,
故甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为.
故选:A.
4.已知,,,则与的夹角为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知求得,平方可得,继而求出,根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由可得,
则,即得,故,
则,
故,
由于,故,
故选:B.
5.设,,,则a,b,c的大小关系为()
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过,所以判断出;又对,进行化简,得到,,从而判断出a,b,c的大小关系.
【详解】,而,所以;
又,
令,
而函数在上递增
故选:A
6.已知函数在区间上单调,且对任意实数均有成立,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意,利用正弦函数的图象和性质,求出,由是函数的最大值点,即可求出.
【详解】由题意知,函数的最小正周期为,
因为函数在上单调,且恒成立,
所以,即,解得,
又是函数的最大值点,是函数的最小值点,
所以,又,解得.
故选:D.
7.设是双曲线与圆在第一象限的交点,,分别是双曲线的左,右焦点,若,则双曲线的离心率为().
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由双曲线定义与题中条件得到,,求出,,再由题意得到,即可根据勾股定理求出结果.
【详解】解:根据双曲线定义:,,
∴,
∴,,,
∴是圆的直径,
∴,在中,,得.
故选.
【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.
8.如图,已知四棱柱的体积为,四边形是平行四边形,点在平面内,且,则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出辅助线,找到两三棱锥的公共部分,结合三角形相似知识得到边长比,从而得到体积比,求出答案.
【详解】先找两三棱锥的公共部分,由知:,故,
在上取点,使得,连接,
设,连接,
则三棱锥为三棱锥与三棱锥的公共部分,
∵∽,
,
点到平面的距离是点到平面的距离的,又,
.
故选:A.
二?多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.为了提升小学生的运算能力,某市举办了“小学生计算大赛”,并从中选出“计算小达人”.现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计,得到如图所示的频率分布直方图,其中成绩的分组区间为,,,,规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”.下列说法正确的是()
A.m的值为0.015
B.该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为0.01
C.被抽取的1000名小学生的均分大约是85分
D.学生成绩的中位数大约为75分
【答案】AD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1,结合中位数的定义、平均数的定义逐一判断即可.
【详解】由,所以选项A正确;
因为得分在90分及以上的被评为“计算小达人”,
所以该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为,因此选项B不正确;
被抽取的1000名小学生的均分大约是
,因此选项C不正确;
设学生成绩的中位数为,
所以有,因此选项D正确,
故选:AD
10.设A,B为两个随机事件,若,,下列命题中,正确的是()
A.若A,B为互斥事件,
B.
C.若,则A,B为相互独立事件
D.若A,B为相互独立事件,则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据互斥
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